Пусть - независимые и одинаково распределенные стандартные однородные случайные величины.
Ожидание легко:
Теперь для скучной части. Чтобы применить LOTUS, мне понадобится PDF-файл . Конечно, pdf суммы двух независимых случайных величин - это свертка их pdf. Тем не менее, здесь у нас есть случайных величин, и я думаю, что свертка привела бы к ... запутанному выражению (ужасный каламбур). Есть ли умнее?
Я бы предпочел увидеть правильное решение , но если это невозможно или слишком сложно, асимптотическое приближение для больших может быть приемлемым. По неравенству Дженсена я знаю, что
Но это мне мало поможет, если я не найду также нетривиальную нижнюю границу. Обратите внимание, что CLT здесь не применяется напрямую, потому что у нас есть квадратный корень из суммы независимых RV, а не только сумма независимых RV. Может быть, могут быть другие предельные теоремы (которые я игнорирую), которые могут быть здесь полезны.
Ответы:
Один из подходов состоит в том, чтобы сначала вычислить функцию генерирования момента (mgf) для определяемую как где - это независимые и одинаково распределенные стандартные однородные случайные величины ,Yn Yn=U21+⋯+U2n Ui,i=1,…,n
Когда у нас это есть, мы можем видеть, что является дробным моментом порядка . Затем мы можем использовать результаты из статьи Ноэля Кресси и Маринуса Боркента: «Функция генерирования момента имеет свои моменты», Журнал статистического планирования и вывода 13 (1986) 337-344, который дает дробные моменты посредством дробного дифференцирования функции, генерирующей моменты ,EYn−−√ Yn α=1/2
Сначала производящая момент функция , которую мы записываем . и я оценили это (с помощью Maple и Wolphram Alpha), чтобы получить где - мнимая единица. (Wolphram Alpha дает аналогичный ответ, но в терминах интеграла Доусона. ) Оказывается, нам в основном понадобится случай для . Теперь легко найти mgf для : Тогда для результатов из цитируемой статьи. ДляU21 M1(t) M1(t)=EetU21=∫10etx2x−−√dx M1(t)=erf(−t−−√)π−−√2−t−−√ i=−1−−−√ t<0YnMn(t)=M1(t)nμ>0μfIμf(t)≡Γ(μ) - 1 ∫ t - ∞ (t-z) μ - 1 f(z)t<0 Yn Mn(t)=M1(t)n μ>0 они определяют интеграл го порядка функции как
Тогда для и нецелого положительное целое число, а такое, что . Тогда производная от порядка определяется как
Затем они утверждают (и доказывают) следующий результат для положительной случайной величины : предположим, что (mgf) определено. Тогда дляμ f Iμf(t)≡Γ(μ)−1∫t−∞(t−z)μ−1f(z)dz α>0 n 0<λ<1 α=n−λ f α Dαf(t)≡Γ(λ)−1∫t−∞(t−z)λ−1dnf(z)dzndz. X MX α>0 ,
Теперь мы можем попытаться применить эти результаты к . При находим
где штрих обозначает производную. Maple дает следующее решение:
я покажу график этого ожидания, выполненный в клене , используя численное интегрирование, вместе с приближенным решениемDαMX(0)=EXα<∞ Yn α=1/2 EY1/2n=D1/2Mn(0)=Γ(1/2)−1∫0−∞|z|−1/2M′n(z)dz ∫0−∞n⋅(erf(−z−−−√)π−−√−2ez−z−−−√)en(−2ln2+2ln(erf(−z√))−ln(−z)+ln(π))22π(−z)3/2erf(−z−−−√)dz A(n)=n/3−1/15−−−−−−−−−√ из некоторого комментария (и обсуждается в ответе @Henry). Они замечательно близки:
В качестве дополнения приведен график процентной ошибки:
Приблизительно выше приближение близко к точному. Ниже кленовый код используется:n=20
источник
В качестве расширенного комментария: здесь ясно, что начинается с когда а затем приближается к при увеличении связано с тем, что дисперсия падает от к . Мой связанный вопрос, на который ответил С. Каттералл, дает обоснование для асимптотического результата в котором каждый имеет среднее значение и дисперсиюE[Yn−−√]=E[∑iX2i−−−−−−√] E[Yn−−√]=12=n3−112−−−−−−√ n=1 n3−115−−−−−−√ n Yn−−√ 112 115 n3−115−−−−−−√ X2i 13 445 , и для распределения, являющегося приблизительно и асимптотически нормальным.
Этот вопрос фактически касается распределений расстояний от начала координат случайных точек в мерном единичном гиперкубе . Это похоже на вопрос о распределении расстояний между точками в таком гиперкубе , поэтому я могу легко адаптировать то, что я сделал там, чтобы показать плотности для различных от до используя числовую свертку. Для предложенное нормальное приближение, показанное красным, хорошо подходит, а из вы можете увидеть кривую колокольчика.n [0,1]n n 1 16 n=16 n=4
Для и вы получаете резкий пик в режиме с тем, что похоже на одинаковую плотность в обоих случаях. Сравните это с распределением , где кривая колокола появляется при и где дисперсия пропорциональнаn=2 n=3 1 ∑iXi n=3 n
источник