Заинтригованный вопросом на math.stackexchange и исследующий его эмпирически, я задаюсь вопросом о следующем утверждении о квадратном корне из сумм iid случайных величин.
Предположим, что - это случайные величины с конечным ненулевым средним и дисперсией и . Центральная предельная теорема гласит: при увеличении . μ σ 2 Y = n ∑ i = 1 X i Y - n μn
Если , могу ли я также сказать что-то вроде при увеличении ?Z - √n
Например, предположим, что - это Бернулли со средним и дисперсией , тогда является биномиальным, и я могу смоделировать это в R, скажем, с : p p ( 1 - p ) Y p = 1
set.seed(1)
cases <- 100000
n <- 1000
p <- 1/3
Y <- rbinom(cases, size=n, prob=p)
Z <- sqrt(abs(Y))
что дает примерно ожидаемое среднее значение и дисперсию для
> c(mean(Z), sqrt(n*p - (1-p)/4))
[1] 18.25229 18.25285
> c(var(Z), (1-p)/4)
[1] 0.1680012 0.1666667
и сюжет QQ, который выглядит близко к гауссову
qqnorm(Z)
Ответы:
Сходимость к гауссову действительно является общим явлением.
Предположим, что являются случайными переменными IID со средним значением и дисперсией , и определим суммы . Исправить число . Обычная центральная предельная теорема говорит нам, что как , где это стандартный нормальный cdf. Однако непрерывность ограничительного cdf подразумевает, что у нас также естьX1,X2,X3,... μ>0 σ2 Yn=∑ni=1Xi α P(Yn−nμσn√≤α)→Φ(α) n→∞ Φ
Взяв квадратные корни и отметив, что означает, что , мы получим Другими словами, . Этот результат демонстрирует сходимость к гауссову в пределе при .μ>0 P(Yn<0)→0
Означает ли это, что является хорошим приближением к для больших ? Ну, мы можем сделать лучше, чем это. Как отмечает @Henry, предполагая, что все положительно, мы можем использовать вместе с и приближение , чтобы получить улучшенное приближение как указано в вопросе выше. Также обратите внимание, что у нас все еще есть потому чтоnμ−−−√ E[|Yn|−−−√] n E[Yn−−√]=E[Yn]−Var(Yn−−√)−−−−−−−−−−−−−−−√ E[Yn]=nμ Var(Yn−−√)≈σ24μ E[|Yn|−−−√]≈nμ−σ24μ−−−−−−−√
источник