Может ли значение распределения вероятности, превышающее 1, быть в порядке?

На странице Википедии о наивных байесовских классификаторах есть такая строка:

$p(\mathrm{height}|\mathrm{male}) = 1.5789$ (Распределение вероятностей по 1 в порядке. Это площадь под кривой колокола, равная 1.)

Как значение может быть в порядке? Я думал, что все значения вероятности были выражены в диапазоне . Кроме того, учитывая, что такое значение возможно, как оно получается в примере, показанном на странице?0 ≤ p ≤ $>1$$0 \leq p \leq 1$

Эта вики-страница использует ненормативную лексику, ссылаясь на этот номер как на вероятность. Вы правы, что это не так. Это на самом деле вероятность на фут . В частности, значение 1,5579 (для высоты 6 футов) подразумевает, что вероятность роста, скажем, от 5,99 до 6,01 фута, близка к следующему безразмерному значению:

Это значение не должно превышать 1, как вы знаете. (Небольшой диапазон высот (0,02 в этом примере) является важной частью вероятностного аппарата. Это «дифференциал» высоты, который я сокращу .) Вероятности на единицу чего-либо называемые плотности по аналогии с другими плотностями, как масса на единицу объема.$d(\text{height})$

Достоверные плотности вероятности могут иметь сколь угодно большие значения, даже бесконечные.

В этом примере показана функция плотности вероятности для гамма-распределения (с параметром формы и масштабом ). Поскольку большая часть плотности меньше , кривая должна подниматься выше , чтобы иметь общую площадь необходимую для всех распределений вероятности.1 / 5 1 1 $3/2$$1/5$$1$$1$$1$

Эта плотность (для бета-распределения с параметрами ) становится бесконечной при и при . Общая площадь все еще конечна (и равна )!0 1 $1/2, 1/10$$0$$1$$1$

Значение 1,5789 / фут получается в этом примере путем оценки того, что высота мужчин имеет нормальное распределение со средним значением 5,855 футов и дисперсией 3,50e-2 квадратных фута. (Это можно найти в предыдущей таблице.) Квадратным корнем этой дисперсии является стандартное отклонение 0,18717 футов. Мы повторно выражаем 6 футов как число SD от среднего значения:

Деление на стандартное отклонение дает отношение

Нормальная плотность вероятности, по определению, равна

(На самом деле, я обманул: я просто попросил Excel вычислить NORMDIST (6, 5.855, 0.18717, FALSE). Но потом я действительно проверил это по формуле, чтобы быть уверенным.) Когда мы убираем существенный дифференциал из формулы остается только число , как улыбка Чеширского кота. Мы, читатели, должны понимать, что число должно быть умножено на небольшую разницу в высотах, чтобы получить вероятность.$d(\text{height})$$1.5789$

Это распространенная ошибка, связанная с непониманием разницы между функциями вероятности, где переменная дискретна, и функциями плотности вероятности, где переменная непрерывна. Смотрите Что такое распределение вероятностей :

функции непрерывной вероятности определены для бесконечного числа точек в непрерывном интервале, вероятность в одной точке всегда равна нулю. Вероятности измеряются по интервалам, а не по отдельным точкам. То есть область под кривой между двумя различными точками определяет вероятность для этого интервала. Это означает, что высота функции вероятности может фактически быть больше единицы. Свойство того, что интеграл должен равняться единице, эквивалентно свойству для дискретных распределений, что сумма всех вероятностей должна равняться единице.

$[a,b]$$1/(b-a)$$b-a$$1$$1/(b-a)$

$[0,0.5]$$1/(0.5-0)=2$$[0,0.1]$$10$

Я не знаю, была ли статья в Википедии отредактирована после первоначальных сообщений в этой теме, но теперь она говорит: «Обратите внимание, что значение больше 1 здесь хорошо - это скорее плотность вероятности, чем вероятность, потому что высота непрерывная переменная. ", и, по крайней мере, в этом непосредственном контексте, P используется для вероятности, а p используется для плотности вероятности. Да, очень неряшливо, поскольку в некоторых местах p обозначает вероятность, а в других - плотность вероятности.

Вернуться к первоначальному вопросу "Может ли значение распределения вероятностей, превышающее 1, быть в порядке?" Нет, но я видел, как это было сделано (см. Мой последний абзац ниже).

Вот как интерпретировать вероятность> 1. Прежде всего, обратите внимание, что люди могут и действительно дают 150% усилий, как мы часто слышим в спорте и иногда работаем https://www.youtube.com/watch?v=br_vSdAOHQQ . Если вы уверены, что что-то случится, это вероятность 1. Вероятность 1,5 может быть истолкована, поскольку вы на 150% уверены, что событие произойдет - что-то вроде 150% усилий.

И если вы можете иметь вероятность> 1, я полагаю, что вы можете иметь вероятность <0. Отрицательные вероятности можно интерпретировать следующим образом. Вероятность 0,001 означает, что вероятность того, что событие произойдет, практически отсутствует. Вероятность = 0 означает «нет пути». Отрицательная вероятность, такая как -1,2, соответствует «Вы собираетесь шутить».

$P_y$$P_y$$P_y$$P_y$$P_y$$P_y$$P_y$$P_y$подняться примерно до 1,8. И вот как барьер единства был сломан в вероятности. Но парень не знал, что совершил этот новаторский подвиг, пока я не указал ему на это, просто выполнив быстрые вычисления на научном калькуляторе Casio размером с батарейку с питанием от батареи в затемненном конференц-зале (не мог сделать это с калькулятор на солнечных батареях). Это было бы похоже на то, как Чак Йегер отправился на воскресную прогулку в своем самолете, и только через несколько месяцев ему сообщили, что он преодолел звуковой барьер.

$X$$f(x)$$f(x)dx$$f(x)$$f(\mbox{height}|\mbox{male})$$f(\mbox{height}|\mbox{male})d\mbox{height}$

$X$$P(X\in[x,x+dx))=f(x)dx$$P(X\in[a,b])=\int_{a}^{b}f(x)dx$$P(X = x)=P(X \in [x,x])=0$

Значение точки при конкретном значении параметра графика плотности вероятности было бы вероятностью, верно? Если это так, то утверждение можно исправить, просто изменив P (рост | мужчина) на L (рост | мужчина).