У нас есть случайный эксперимент с различными результатами , образующих пространство образца $\Omega,$ на котором мы смотрим с интересом на некоторые модели, под названием события $\mathscr{F}.$ Сигма-алгебры (или сигма-поля) состоят из событий, которым может быть назначена мера вероятности $\mathbb{P}$Определенные свойства выполняются, включая включение нулевого множества $\varnothing$ и всего выборочного пространства, а также алгебру, которая описывает объединения и пересечения с диаграммами Венна.

Вероятность определяется как функция между $\sigma$ -алгеброй и интервалом $[0,1]$ . В целом тройка $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ образует вероятностное пространство .

Может ли кто-нибудь объяснить простым языком, почему здание вероятности рухнет, если у нас не будет $\sigma$ алгебры? Они просто вклиниваются посередине с этим невероятно каллиграфическим «F». Я верю, что они необходимы; Я вижу, что событие отличается от результата, но что было бы неправильно без $\sigma$ алгебры?

Вопрос в том, в каком типе вероятностных задач определение вероятностного пространства, включающего $\sigma$ алгебру, становится необходимостью?

---

Этот онлайн-документ на веб-сайте Дартмутского университета дает понятное объяснение на английском языке. Идея заключается в вращающемся указателе, вращающемся против часовой стрелки на окружности единицы периметра:

Мы начнем с построения счетчика, который состоит из окружности единичной окружности и указателя, как показано на рисунке. Мы выбираем точку на окружности и обозначаем ее $0$ , а затем обозначаем каждую другую точку на окружности расстоянием, скажем, $x$ , от $0$ до этой точки, измеренным против часовой стрелки. Эксперимент состоит из вращения указателя и записи метки точки на кончике указателя. Пусть случайная величина $X$ обозначает значение этого результата. Пространство выборки явно интервал $[0,1)$, Мы хотели бы построить вероятностную модель, в которой каждый результат одинаково вероятен. Если мы поступим так же, как [...] для экспериментов с конечным числом возможных результатов, то мы должны присвоить вероятность $0$ каждому результату, поскольку в противном случае сумма вероятностей по всем возможным результатам не будет равно 1. (На самом деле сложение несчетного числа действительных чисел - сложная задача; в частности, для того, чтобы такая сумма имела какое-либо значение, не более чем счетное число слагаемых может отличаться от $0$ ) Однако, если все назначенные вероятности равны $0$ , тогда сумма равна $0$ , а не $1$ , как и должно быть.

Таким образом, если бы мы присвоили каждой точке любую вероятность и, учитывая, что существует бесконечное количество точек, их сумма в сумме составила бы $> 1$ .

К первому пункту Сианя: когда вы говорите об алгебрах, вы спрашиваете об измеримых множествах, поэтому, к сожалению, любой ответ должен быть сосредоточен на теории меры. Я постараюсь довести это до конца нежно.$\sigma$

Теория вероятностей, допускающая все подмножества несчетных множеств, сломает математику

Рассмотрим этот пример. Предположим, у вас есть единичный квадрат в , и вас интересует вероятность случайного выбора точки, которая является членом определенного набора в единичном квадрате. Во многих случаях на это можно легко ответить на основе сравнения областей различных наборов. Например, мы можем нарисовать несколько кругов, измерить их площади, а затем взять вероятность как долю квадрата, попадающего в круг. Очень простой.$\mathbb{R}^2$

Но что, если область набора интересов не является четко определенной?

Если область не является четко определенной, то мы можем сделать два разных, но вполне обоснованных (в некотором смысле) вывода о том, что это за область. Таким образом, мы могли бы иметь с одной стороны и P ( A ) = 0 с другой стороны, что влечет 0 = 1 . Это ломает всю математику без возможности восстановления. Теперь вы можете доказать 5 < 0 и ряд других нелепых вещей. Очевидно, это не слишком полезно.$P(A)=1$$P(A)=0$$0=1$$5<0$

алгебры - это патч, исправляющий математику$\sigma$

Что такое алгебра, точно? На самом деле это не так страшно. Это просто определение того, какие наборы могут рассматриваться как события. Элементы не в F просто не имеют определенной вероятностной меры. По сути, σ- алгебры - это «патч», который позволяет нам избежать некоторых патологических поведений математики, а именно неизмеримых множеств.$\sigma$$\mathscr{F}$$\sigma$

Три требования поля можно рассматривать как последствия того, что мы хотели бы сделать с вероятностью: σ- поле - это множество, которое имеет три свойства:$\sigma$$\sigma$

1. Закрытие под исчисляемыми союзами.
2. Закрытие под счетными пересечениями.
3. Закрытие под дополнения.

Счетные объединения и компоненты счетных пересечений являются прямыми следствиями неизмеримых множеств. Закрытие под комплементами является следствием аксиом Колмогорова: если , Р ( с ) должен быть 1 / 3 . Но без (3) может случиться, что P ( A c ) не определено. Это было бы странно. Замыкание по дополнениям и аксиомы Колмогорова позволяют говорить такие вещи, как P ( A ∪ A c ) = P $P(A)=2/3$$P(A^c)$$1/3$$P(A^c)$ .$P(A\cup A^c)=P(A)+1-P(A)=1$

Наконец, мы рассматриваем события, связанные с , поэтому мы дополнительно требуем, чтобы Ω ∈ $\Omega$$\Omega\in\mathscr{F}$

Хорошая новость: алгебры строго необходимы только для несчетных множеств$\sigma$

Но! Здесь также есть хорошие новости. Или, по крайней мере, способ обойти проблему. Нам нужны только алгебры, если мы работаем в наборе с неисчислимым количеством элементов. Если мы ограничимся счетных множеств, то мы можем взять F = 2 Ом булеана Ом , и мы не будем иметь любой из этих проблем , потому что для счетного Ом , 2 Ω состоит только из измеримых множеств. (Это упоминается во втором комментарии Сианя.) Вы заметите, что некоторые учебники на самом деле совершают тонкую ловкость рук и рассматривают счетные множества только при обсуждении вероятностных пространств.$\sigma$$\mathscr{F}=2^\Omega$$\Omega$$\Omega$$2^\Omega$

Кроме того, в геометрических задачах в вполне достаточно рассматривать только σ -алгебры, составленные из множеств, для которых определена мера L n . Чтобы обосновать это несколько более твердо, L n для n = 1 , 2 , 3 соответствует обычным представлениям о длине, площади и объеме. Итак, в предыдущем примере я говорю о том, что для набора необходимо иметь четко определенную область, чтобы ему была назначена геометрическая вероятность. И причина в том, что: если мы допустим неизмеримые множества, то мы можем оказаться в ситуациях, когда мы можем присвоить вероятность 1 некоторому событию на основе некоторого доказательства, а вероятность 0 -$\mathbb{R}^n$$\sigma$$\mathcal{L}^n$$\mathcal{L}^n$$n=1,2,3$то же событие, основанное на некоторых других доказательствах.

Но не позволяйте соединению с бесчисленными множествами сбить вас с толку! Распространенное заблуждение, что алгебры являются счетными множествами. На самом деле, они могут быть исчисляемыми или неисчисляемыми. Рассмотрим эту иллюстрацию: как и раньше, у нас есть единичный квадрат. Определить F = все подмножества единичного квадрата с определенной   мерой L 2 . Вы можете нарисовать квадрат B с длиной стороны s для всех s ∈ ( 0 , 1 ) и с одним углом в ( 0 , 0 $\sigma$

$$\mathscr{F}=\text{All subsets of the unit square with defined $\mathcal{L}^2$ measure}.$$ $B$$s$$s \in (0,1)$$(0,0)$, Должно быть понятно, что этот квадрат является подмножеством единичного квадрата. Более того, все из этих квадратов определили площадь, так что эти квадраты являются элементами . Но также должно быть ясно, что существует бесчисленное количество квадратов B : число таких квадратов неисчислимо, и каждый квадрат определил меру Лебега.$\mathscr{F}$$B$

Поэтому на практике достаточно просто сделать это наблюдение достаточным для того, чтобы сделать наблюдение, в котором вы рассматриваете только измеримые по Лебегу множества, чтобы добиться прогресса в решении проблемы интересов.

Но подождите, что такое неизмеримый набор?

Боюсь, я могу только пролить немного света на это сам. Но парадокс Банаха-Тарского (иногда парадокс «солнца и гороха») может нам помочь:

Для заданного сплошного шара в трехмерном пространстве существует разложение шара на конечное число непересекающихся подмножеств, которые затем можно соединить по-разному, чтобы получить две идентичные копии исходного шара. Действительно, процесс сборки включает в себя только перемещение деталей и их вращение без изменения их формы. Однако сами кусочки являются не «твердыми телами» в обычном смысле, а бесконечным рассеянием точек. Реконструкция может работать всего с пятью частями.

Более сильная форма теоремы подразумевает, что при наличии любых двух «разумных» твердых объектов (таких как маленький шар и огромный шар) любой из них может быть повторно собран в другой. Об этом часто говорят неформально: «горох можно нарезать и снова собрать в Солнце» и называют «парадоксом гороха и солнца». 1

Поэтому, если вы работаете с вероятностями в и используете геометрическую меру вероятности (соотношение объемов), вы хотите определить вероятность какого-либо события. Но вы будете изо всех сил пытаться точно определить эту вероятность, потому что вы можете изменить наборы своего пространства, чтобы изменить объемы! Если вероятность зависит от объема, и вы можете изменить объем набора на размер солнца или размер гороха, то вероятность также изменится. Поэтому ни одному событию не будет приписано ни одной вероятности. Хуже того, вы можете переставить S ∈ Ω так, чтобы объем S имел V ( S ) > V ( Ω $\mathbb{R}^3$$S\in\Omega$$S$$V(S)>V(\Omega)$Это означает, что геометрическая мера вероятности сообщает о вероятности , что является грубым нарушением аксиом Колмогорова, которые требуют, чтобы мера вероятности имела меру 1.$P(S)>1$

Чтобы разрешить этот парадокс, можно сделать одну из четырех уступок:

1. Громкость набора может измениться, когда он вращается.
2. Объем объединения двух непересекающихся множеств может отличаться от суммы их объемов.
3. Аксиомы теории множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора (ZFC), возможно, придется изменить.
4. Некоторые наборы могут быть помечены как «неизмеримые», и нужно будет проверить, является ли набор «измеримым», прежде чем говорить о его объеме.

$\sigma$

$[0,18), [18, 25), [25,34), \dots$$(\Omega,F)$$F$$[18,25)$$[20,30)$$[20,30)$$F$

$(\Omega', F')$$f:$$f^{-1}(1)$$F$$f$

$F$$F$$A$$B$$A \cap B$$A \cup B$, Теперь требование замкнутости для счетных пересечений и объединений позволяет нам запрашивать счетные союзы или дизъюнкции. И отрицание вопроса представлено дополнительным набором. Это дает нам сигма-алгебру.

Я впервые увидел такое введение в очень хорошей книге Питера Уиттла «Вероятность через ожидание» (Springer).

РЕДАКТИРОВАТЬ

$i$$i$$\sigma$$\sigma$$n$$\sigma$$n$$\sigma$

Но нужен ли нам строгий закон больших чисел? Согласно одному ответу здесь , возможно нет.

$n$$n$

$\sigma$

$\sigma$

$\sigma$$A \cup B$$(A\cup B)\cap C$ . Чтобы процитировать этот запоминающийся ответ :

Первая аксиома состоит в том, что ∅, 𝑋∈𝜎. Ну, вы ВСЕГДА знаете вероятность того, что ничего не происходит (0) или что-то происходит (1).

Вторая аксиома замкнута относительно дополнений. Позвольте мне привести глупый пример. Опять же, рассмотрим бросок монеты с 𝑋 = {𝐻, 𝑇}. Притворимся, что я говорю вам, что алгебра this для этого переворота - {∅, 𝑋, {𝐻}}. То есть я знаю вероятность того, что НИЧЕГО не случится, ЧТО-ТО случится, и головы, но я не знаю вероятности хвостов. Вы бы правильно назвали меня идиотом. Потому что, если вы знаете вероятность появления головы, вы автоматически знаете вероятность появления хвоста! Если вы знаете вероятность того, что что-то происходит, вы знаете вероятность того, что это не произойдет (дополнение)!

Последняя аксиома замкнута относительно счетных союзов. Позвольте мне привести еще один глупый пример. Рассмотрим бросок кубика, или 𝑋 = {1,2,3,4,5,6}. Что если я скажу вам, что алгебра для этого есть {∅, 𝑋, {1}, {2}}. То есть я знаю вероятность броска 1 или 2, но я не знаю вероятности бросить 1 или 2. Опять же, вы с полным основанием назвали бы меня идиотом (надеюсь, причина ясна). То, что происходит, когда наборы не пересекаются, и то, что происходит с бесчисленными профсоюзами, немного запутанно, но я надеюсь, что вы можете попытаться придумать несколько примеров.

$\sigma$

Ну, это не совсем чистый случай, но есть несколько веских причин, почему .

Почему вероятностники нуждаются в мерах?

$\sigma$$\sigma$$P$

Люди приводят набор Виталия и Банаха-Тарского, чтобы объяснить, почему вам нужна теория меры, но я думаю, что это вводит в заблуждение . Множество Витали уходит только для (нетривиальных) мер, трансляционно-инвариантных, в которых вероятностные пространства не требуются. А Банах-Тарский требует вращения-инвариантности. Люди, занимающиеся анализом, заботятся о них, а вероятностные люди - нет .

Смысл существование теории меры в теории вероятностей является унифицировать обработку дискретных и непрерывных RVs, и , кроме того, позволяет RVs, которые смешиваются и RVs, которые просто ни.