Плотность роботов, совершающих случайные прогулки по бесконечному случайному геометрическому графу

Рассмотрим бесконечный случайный геометрический граф, в котором положения узлов следуют за пуассоновским точечным процессом с плотностью а ребра располагаются между узлами, которые ближе, чем d . Следовательно, длина ребер соответствует следующему PDF:$\rho$$d$

На приведенном выше графике рассмотрим узлы внутри круга радиуса центром в начале координат. Предположим, что в момент времени t = 0 мы помещаем крошечного робота внутри каждого из упомянутых узлов. То есть плотность роботов на плоскости определяется как:$r$$t=0$

гдеl- расстояние от начала координат. На следующем рисунке показан пример первоначального размещения роботов.

На каждом временном шаге роботы случайным образом переходят к одному из соседей.

$t>0$$t \rightarrow \infty$

Извините, ребята, я ни в коем случае не математик. Пожалуйста, дайте мне знать, если что-то неясно.

Вот начало.

$r = d/2$

$t$$n = 1 + 4t + 2t(t-1)$$t$$A_t$$n \times n$$n$$e_{i,t} \in \{0,1\}^n$$0$$1$$i$$A_t$$i$$t$$e_{1,t}' A_t^t e_{i,t}$$A^t = A \times A \cdots \times A$$A$$t$$\cal L_1$

$t$$r(t+1)$$0$$t$$q$$t$$(x,y)$$t$$f_t(x,y)$$f_t$$r$$X$

$U$$M$$MU + X$

$X$