Вопрос
Если являются IID, то вычислите , где .
Попытка : пожалуйста, проверьте правильность приведенного ниже.
Пусть говорят, мы возьмем сумму этих условных ожиданий такое , что
Это означает, что каждое так какявляются IID.
Таким образом, . Это правильно?
Ответы:
Идея верна - но есть вопрос выразить ее немного более строго. Поэтому я сосредоточусь на нотации и раскрытии сути идеи.
Начнем с идеи взаимозаменяемости:
Очевидно, что IID подразумевает обмен.
По сути обозначений, писатьXσi=Xσ(i) для ith компонент Xσ , и пусть Tσ=∑i=1nXσi=∑i=1nXi=T.
Пустьj - любой индекс, а σ - любая перестановка индексов, которая отправляет 1 в j=σ(1). (Такой σ существует, потому что всегда можно просто поменять местами 1 и j. ) Возможность замены X подразумевает
потому что (в первом неравенстве) мы просто заменилиX на одинаково распределенный вектор Xσ. Это суть дела.
вследствие этого
откуда
источник
ПустьX=(X1,…,Xn)T и 1=(1,…,1)T , так T=1TX . Затем мы обусловливаем случай, когда 1TX=t для некоторого t∈R , так что это похоже на рисование многомерных гауссианов, поддерживаемых на Rn но только на тех, которые попадают в аффинное пространство {x∈Rn:1Tx=t} . Затем мы хотим узнать среднее значениеx1 координат точек, которые приземляются в этом аффинном пространстве (не говоря уже о том, что это подмножество с нулевой мерой).
Мы знаемX∼N(μ1,I)
поэтому мы получили сферический гауссиан с постоянным средним вектором, а средний вектор μ1 находится на той же прямой, что и вектор нормали гиперплоскости xT1=0 .
Это дает нам ситуацию, подобную картинке ниже:
Основная идея: сначала представьте плотность в аффинном подпространствеHt:={x:xT1=t} . Плотность X симметрична относительно x1=x2 поскольку E(X)∈span 1 . Плотность также будет симметричной на Ht поскольку Ht также симметрична относительно той же прямой, а точка, вокруг которой она симметрична, является пересечением линий x1+x2=t иx1=x2 . Это происходит дляx=(t/2,t/2) .
Чтобы изобразитьE(X1|T) мы можем представлять выборку снова и снова, а затем всякий раз, когда мы получаем точку в Ht мы берем только координату x1 и сохраняем ее. Исходя из симметрии плотности на Ht распределение координат x1 также будет симметричным, и оно будет иметь такую же центральную точку t/2 . Среднее симметричного распределения является центральной точкой симметрии, так что это означает, что E(X1|T)=T/2 и что E(X1|T)=E(X2|T) поскольку X1 и X2 могут быть выделены, ничего не затрагивая.
В более высоких измерениях это трудно (или невозможно) точно визуализировать, но применяется та же идея: у нас есть сферический гауссиан со средним значением в диапазоне1 , и мы смотрим на аффинное подпространство, перпендикулярное этому. Точка равновесия распределения в подпространстве все еще будет пересечением span 1 и {x:xT1=t} который находится в x=(t/n,…,t/n) , и плотность по-прежнему симметрична таким образом, этот баланс снова является средним значением.
Опять же, это не доказательство, но я думаю, что оно дает хорошее представление о том, почему вы ожидаете такого поведения в первую очередь.
Помимо этого, как отметили некоторые, такие как @StubbornAtom, для этого не требуется, чтобыX был гауссовским. В 2-D, обратите внимание, что если X является заменяемым, то f(x1,x2)=f(x2,x1) (в более общем смысле, f(x)=f(xσ) ), поэтому f должно быть симметричным над линия x1=x2 . У нас также есть E(X)∈span 1 так что все, что я сказал относительно «ключевой идеи» на первом рисунке, все еще остается верным. Вот пример, гдеXi взяты из модели гауссовой смеси. Все строки имеют то же значение, что и раньше.
источник
Я думаю, что ваш ответ правильный, хотя я не совсем уверен насчет линии убийцы в вашем доказательстве, о том, что это правда, «потому что они неубедительны». Более многословный путь к тому же решению заключается в следующем:
источник