В ситуации, когда наблюдается распределение распределенное по распределению с плотностью , мне интересно, существует ли объективная оценка (на основе ) расстояния Хеллингера до другого распределения с плотностью , а именно
20
В ситуации, когда наблюдается распределение распределенное по распределению с плотностью , мне интересно, существует ли объективная оценка (на основе ) расстояния Хеллингера до другого распределения с плотностью , а именно
Ответы:
Никакой несмещенной оценки ни ни H 2 не существует для f из любого достаточно широкого непараметрического класса распределений.H H2 f
Мы можем показать это с помощью красивого простого аргумента
Зафиксируем некоторые распределения , F и G с соответствующими плотностями f 0 , f и g . Пусть H ( F ) обозначит Н ( п , ф 0 ) , и пусть Н ( Х ) быть некоторая оценка H ( F ) на основе п н.о.р. образцов X я ~ F .F0 F G f0 f g H(F) H(f,f0) H^(X) H(F) n Xi∼F
Предположим , что Н является несмещенной для образцов из любого распределения вида M & alpha ; : = α F + ( 1 - α ) G . Но тогда Q ( α )H^
Теперь давайте перейдем к разумному случаю и покажем, что соответствующий не является многочленом.Q
Пусть - некоторое распределение, которое имеет постоянную плотность на [ - 1 , 1 ] : f 0 ( x ) = c для всех | х | ≤ 1 . (Его поведение вне этого диапазона не имеет значения.) Пусть F - некоторое распределение, поддерживаемое только на [ - 1 , 0 ] , а G - некоторое распределение, поддерживаемое только на [ 0 , 1 ] .F0 [−1,1] f0(x)=c |x|≤1 F [−1,0] G [0,1]
Теперь гдеBF:=∫R√
Это исключает почти все разумные непараметрические классы распределений, за исключением тех, чьи плотности ограничены ниже (предположение, которое иногда делают непараметрические анализы). Вероятно, вы могли бы убить и эти классы с помощью аналогичного аргумента, просто сделав плотность постоянной или что-то в этом роде.
источник
Я не знаю, как построить (если он существует) непредвзятую оценку расстояния Хеллингера. Кажется возможным построить последовательную оценку. У нас есть фиксированная известная плотностье0 и случайная выборка Икс1,…,Xn from a density f>0 . We want to estimate
источник