Мой проф проф в основном сказал, если дать один из следующих трех, вы можете найти два других:
- Кумулятивная функция распределения
- Функция генерирования момента
- Функция плотности вероятности
Но мой профессор по эконометрике сказал, что CDF являются более фундаментальными, чем PDF, потому что есть примеры, где вы можете иметь CDF, но PDF не определен.
Являются ли CDF более фундаментальными, чем PDF? Как мне узнать, можно ли получить PDF или MGF из CDF?
probability
pdf
cdf
mgf
Стэн Шунпайк
источник
источник
Ответы:
Каждое распределение вероятностей на (подмножестве) имеет кумулятивную функцию распределения , и оно однозначно определяет распределение. Таким образом, в этом смысле CDF действительно столь же фундаментален, как и сам дистрибутив.рN
Однако функция плотности вероятности существует только для (абсолютно) непрерывных распределений вероятностей . Простейшим примером распределения, в котором отсутствует PDF, является любое дискретное распределение вероятностей , такое как распределение случайной величины, которая принимает только целые значения.
Конечно, такие дискретные распределения вероятностей могут характеризоваться функцией вероятностной массы , но есть также распределения, которые не имеют ни PDF, ни PMF, такие как любая смесь непрерывного и дискретного распределения:
(Схема бесстыдно украдена из ответа Glen_b на связанный вопрос.)
Есть даже сингулярные распределения вероятностей , такие как распределение Кантора , которые не могут быть описаны даже комбинацией PDF и PMF. Такие дистрибутивы все еще имеют четко определенный CDF. Например, вот CDF распределения Кантора, также иногда называемый «лестницей дьявола»:
( Изображение из Wikimedia Commons от пользователей Theon и Amirki , используется по лицензии CC-By-SA 3.0 .)
CDF, известный как функция Кантора , является непрерывным, но не абсолютно непрерывным. Фактически, она постоянна везде, кроме множества Кантора с нулевой мерой Лебега, но все еще содержит бесконечно много точек. Таким образом, вся масса вероятности распределения Кантора сосредоточена на этом исчезающе малом подмножестве линии действительных чисел, но каждая точка в множестве по-прежнему индивидуально имеет нулевую вероятность.
Есть также распределения вероятностей, которые не имеют функции, генерирующей момент . Вероятно, наиболее известным примером является распределение Коши, распределение с хвостами, у которого нет четко определенных моментов порядка 1 или выше (таким образом, в частности, нет четко определенного среднего или дисперсии!).
Однако все вероятностные распределения на имеют (возможно комплексную) характеристическую функцию ), определение которой отличается от определения MGF только умножением на мнимую единицу . Таким образом, характеристическая функция может рассматриваться как основополагающая как CDF.рN
источник
Я полагаю, что ваш профессор по эконометрике думал что-то вроде следующего.
По определению PDF мы должны иметь
нам нужно
Вы можете восстановить дух PDF, но вы должны использовать более сложные математические объекты, либо меру, либо распределение .
источник
Илмари дает хороший ответ с теоретической точки зрения. Однако можно также спросить, для каких целей плотность (pdf) и функция распределения (pdf) служат для практических расчетов. Это может прояснить, для каких ситуаций одна из них более полезна, чем другая.
Однако плотность важна для статистики, так как вероятность определяется в терминах плотности. Таким образом, если мы хотим вычислить оценку максимального правдоподобия, нам напрямую нужна плотность.
Если мы обратимся к сравнению эмпирического и теоретического распределения, оба могут быть полезны, но методы, такие как pp- и qq-графики, основанные на функции распределения, часто являются предпочтительными.
источник