У меня есть экспериментально наблюдаемое распределение, которое выглядит очень похожим на гамма или логнормальное распределение. Я читал, что логнормальное распределение - это максимальное распределение вероятности энтропии для случайной переменной для которой среднее значение и дисперсия являются фиксированными. Обладает ли гамма-распределение подобными свойствами?
29
Ответы:
Что касается качественных различий, то логнормальная и гамма, как вы говорите, довольно похожи.
Действительно, на практике они часто используются для моделирования одних и тех же явлений (некоторые люди используют гамму, тогда как другие используют логнормальные значения). Обе они, например, являются моделями с постоянным коэффициентом вариации (CV для логнормального значения - , для гаммы - ).eσ2−1−−−−−−√ 1/α−−√
[Как это может быть постоянным, если это зависит от параметра, спросите вы? Это применимо, когда вы моделируете масштаб (местоположение для масштаба журнала); для логнормального значения действует как параметр масштаба, в то время как для гаммы масштаб является параметром, который не является параметром формы (или его обратным значением, если вы используете параметризацию скорости формы). Я назову параметр масштаба для гамма-распределения . Гамма-GLM моделируют среднее значение ( ), сохраняя постоянным; в этом случае также является параметром масштаба. Модель с переменной и константой или соответственно будет иметь постоянную CV.]μ β μ=αβ α μ μ α σ
Возможно, вам будет полезно посмотреть на плотность их журналов , что часто показывает очень четкую разницу.
Журнал логнормальной случайной величины ... нормальный. Это симметрично.
Лог гамма-случайной величины является левосторонним. В зависимости от значения параметра shape, он может быть довольно наклонным или почти симметричным.
Вот пример, где и логнормальное, и гамма имеют среднее значение 1 и дисперсию 1/4. На верхнем графике показаны плотности (гамма зеленым, логарифмическая синего цвета), а на нижнем - плотности каротажных:
(Построение логарифма плотности журналов также полезно. То есть берется логарифмическая шкала на оси Y выше)
Это различие подразумевает, что гамма имеет больше хвоста слева и меньше хвоста справа; дальний правый хвост бревна тяжелее, а левый хвост светлее. И действительно, если вы посмотрите на асимметрию логнормального и гамма-значений для заданного коэффициента вариации, логнормальное отклонение будет более правильным ( ), чем гамма ( ).CV3+3CV 2CV
источник
Да, гамма-распределение является максимальным энтропийным распределением, для которого фиксированное значение и среднее-log . Как и во всех экспоненциальных семейных распределениях, это уникальное максимальное распределение энтропии для фиксированной ожидаемой достаточной статистики.E(X) E(logX)
Чтобы ответить на ваш вопрос о физических процессах, которые генерируют эти распределения: Логнормальное распределение возникает, когда логарифм X обычно распределяется, например, если X является продуктом очень многих небольших факторов. Если X имеет гамма-распределение, то это сумма многих экспоненциально распределенных переменных. Например, время ожидания для многих событий пуассоновского процесса.
источник