Как подобрать приблизительный PDF (т.е. оценку плотности), используя первые k (эмпирических) моментов?

У меня есть ситуация, когда я могу оценить (первые) моментов набора данных и хотел бы использовать его для оценки функции плотности. $k$

Я уже сталкивался с распределением Пирсона , но понял, что он опирается только на первые 4 момента (с некоторыми ограничениями на возможные комбинации моментов).

Я также понимаю, что любого конечного набора моментов недостаточно, чтобы «закрепить» конкретное распределение, когда не используются дополнительные предположения. Тем не менее, я все еще хотел бы для более общего класса распределений (кроме семейства распределений Пирсона). Глядя на другие вопросы, я не смог найти такой рассылки (см .: здесь , здесь , здесь , здесь , здесь и здесь ).

Существует ли некоторое («простое») обобщенное семейство распределений, которое можно определить для любого набора из моментов? (может быть набор преобразований, которые могут принимать стандартное нормальное распределение и преобразовывать его, пока он не будет подтвержден всем набором моментов) $k$ $k$

(Мне все равно, если предположить, что другие моменты равны 0 или нет) $k+1\ldots\infty$

Спасибо.

PS: Я был бы рад за расширенный пример. Предпочтительно с примером кода R.

pdf kernel-smoothing moments Таль Галили
источник

Первые

моментов определяют первые

производных характеристической функции в нуле:

. Итак, вы знаете первые

членов разложения Тейлора характеристической функции около нуля. После этого вы сможете использовать теоремы обращения для получения плотности.

k

$k$

k

$k$

E [X^{k}] = (- i)^{k} ϕ_{X}^{(k)} (0)

$E[X^k] = (-i)^k\phi_X^{(k)}(0)$

k

$k$

Стефан Коласса

Спасибо @StephanKolassa - есть ли шанс для расширенного ответа / примера кода R?

Тал Галили

en.wikipedia.org/wiki/Maximum_entropy_probability_distribution предлагает общий метод.

whuber

Уважаемый @whuber, не могли бы вы предложить пример кода R? (также, это идет с ответом волков?)

Тал Галили

Это совершенно другой подход к этому ответу.

whuber

Ответы:

Метод 1: системы Пирсона высшего порядка

$p(x)$

\frac{d п (Икс)}{d Икс} знак равно - \frac{(a + Икс)}{с_{0} + с_{1} Икс + с_{2} {Икс}^{2}} п (Икс)

$\frac{d p (x)}{dx} \; = \; -\frac{(a+x) }{c_0 + c_1 x + c_2 x^2} \; p(x)$

$(a, c_0, c_1, c_2)$

$c_0 + c_1 x + c_2 x^2$ $p(x)$

\frac{d п (Икс)}{d Икс} знак равно - \frac{(a + Икс)}{с_{0} + с_{1} Икс + с_{2} {Икс}^{2} + с_{3} {Икс}^{3}} п (Икс)

$\frac{d p(x)}{dx} \; = \; -\frac{(a+x) }{c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3} \; p (x)$

что дает решение:

Некоторое время назад я решил это ради забавы (имея ту же последовательность мыслей, что и ОП): вывод и решение даны в главе 5 нашей книги; если интересно, бесплатная загрузка доступна здесь:

http://www.mathstatica.com/book/bookcontents.html

Заметим, что, хотя семейство Пирсона второго порядка (квадратичное) можно выразить через первые 4 момента, семейство Пирсона в третьем порядке (кубическое) требует первых 6 моментов.

Метод 2: Расширения Грамм-Шарлье

$k^{th}$

Моменты населения или примеры моментов ??

Для системы в стиле Пирсона: если моменты населения известны, то использование более высоких моментов должно однозначно привести к лучшей подгонке. Однако, если наблюдаемые данные представляют собой случайную выборку, взятую из совокупности, существует компромисс: полином более высокого порядка подразумевает, что требуются моменты более высокого порядка, и оценки последних могут быть ненадежными (иметь высокую дисперсию), если размер выборки не является «большим». Другими словами, учитывая данные выборки, подгонка с использованием более высоких моментов может стать «нестабильной» и привести к худшим результатам. То же самое верно для расширений Грамм-Шарлье: добавление дополнительного термина может фактически привести к худшему соответствию, поэтому требуется некоторая осторожность.

wolfies
источник

Уважаемые @wolfies - спасибо за ваш ответ! Если я вас правильно понимаю, расширения Грамм-Шарлье больше соответствуют тому, что я ищу (хотя интересует более распространенное распределение Пирсона). Я посмотрел на вашу книгу (глава 5, начиная со страницы 175) и увидел, что вы действительно даете там подробное описание (с упоминанием того, как поступать с предполагаемыми моментами, как в моем случае). Единственное, что я не могу использовать ваш код (так как я пользователь R). Спасибо за ваш ответ (а также за вашу книгу, которая кажется впечатляющей и интересной в целом)

Таль Галили

Просто нашел пакет R для работы с различными методами: cran.us.r-project.org/web/packages/PDQutils/vignettes/…

Галили