Идентичность момент-генерирующих функций

Существуют ли неидентичные распределения, которые имеют одну и ту же функцию, генерирующую моменты?

Да.

В упражнении, Стюарт и Ord ( Кендалла Современная теория статистики .., 5 - е изд, Исх 3,12) процитировать 1918 результат TJ Стилтьеса (который , видимо , появляется в его Oeuvres Завершает , ):

Если нечетная функция периода , покажите, что$f$$\frac{1}{2}$

$$\int_0^\infty x^r x^{-\log x} f(\log x) dx = 0$$

для всех интегральных значений . Отсюда видно, что распределения$r$

$$dF = x^{-\log x}(1 - \lambda \sin(4\pi \log x))\ dx, \quad 0 \le x \lt \infty;\quad 0 \le |\lambda| \le 1,$$

есть одинаковые моменты независимо от значения .$\lambda$

(В оригинале отображается только как ; ограничение на размер возникает из-за необходимости сохранять все значения функции плотности неотрицательными.) Упражнение легко решить с помощью подстановки и завершение квадрата. Случай является известным логнормальным распределением .λ λ d F x = exp ( y ) λ = $|\lambda|$$\lambda$$\lambda$$dF$$x = \exp(y)$$\lambda=0$

Синяя кривая соответствует , логнормальное распределение. Для красной кривой и для золотой кривой .λ = - 1 / 4 λ = 1 /$\lambda=0$$\lambda = -1/4$$\lambda = 1/2$