Пусть и X 2 будут 2 iidrv, где log ( X 1 ) , log ( X 2 ) ∼ N ( μ , σ ) . Я хотел бы знать распределение для X 1 - X 2 .
Лучшее, что я могу сделать, - это взять ряд Тейлора обоих и получить, что разница представляет собой сумму разности между двумя нормальными и двумя квадратами хи-квадрат в дополнение к остальной разнице между остальными терминами. Есть ли более простой способ получить распределение разницы между 2 iid log-normal rv's?
Ответы:
Это сложная проблема. Сначала я подумал об использовании (некоторой аппроксимации) производящей момент функции логнормального распределения. Это не работает, как я объясню. Но сначала несколько обозначений:
Пусть - стандартная нормальная плотность, а Φ - соответствующая кумулятивная функция распределения. Мы будем только анализировать случай логнормального распределения l n N ( 0 , 1 ) , которое имеет функцию плотности f ( x ) = 1ϕ Φ lnN(0,1)
и кумулятивная функция распределения
F(x)=Φ(lnx).
Предположим, чтоXиY- независимые случайные величины с приведенным выше логнормальным распределением. Нас интересует распределениеD=X-Y, которое является симметричным распределением со средним нулем. ПустьM(t)=Eet∈(-∞,0]
This expression can be used for numerical integration or as a basis for simulation. First a test:
which is clearly correct. Let us wrap this up inside a function:
which gives:
Then we can find the density function by differentiating under the integral sign, obtaining
which we can test:
And plotting the density we get:
I did also try to get some analytic approximation, but so far didn't succeed, it is not an easy problem. But numerical integration as above, programmed in R is very fast on modern hardware, so is a good alternative which probably should be used much more.
источник
This does not strictly answer your question, but wouldn't it be easier to look at the ratio of theX and Y ? You then simply arrive at
Depending on your application, this may serve your needs.
источник