Вопрос, связанный с леммой Бореля-Кантелли

Замечания:

Борель-Кантелли Лемма говорит, что

$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) < \infty \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 0$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) \lt \infty \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=0$
$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) = \infty and A_{n}'s are independent \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 1$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) =\infty \textrm{ and } A_n\textrm{'s are independent} \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=1$

Потом,

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n} A_{n + 1}^{c}) < \infty

$\sum_{n=1}^\infty P(A_nA_{n+1}^c )\lt \infty$

с помощью леммы Бореля-Кантелли

Я хочу показать что

в первую очередь,

$\lim_{n\to \infty}P(A_n)$ существует

и во-вторых,

$\lim_{n\to \infty}P(A_n) =P(\lim\sup A_n)$

Пожалуйста, помогите мне показать эти две части. Спасибо.

probability self-study stochastic-processes probability-inequalities B11b
источник

Нет, лемма Бореля-Кантелли не говорит (все), что, по крайней мере, не без дальнейших предположений.

кардинал

@ cardinal хорошо, как я могу показать эти два утверждения? пожалуйста, вы можете мне это объяснить? у меня нет достаточно идей. я буду рад, если вы покажете солютину :) спасибо

B11b

Добавлено одно «дальнейшее предположение».

Дзен

Небольшое примечание: как упоминалось здесь , например, мы можем обойтись только парной независимостью

во второй части леммы

A_{n}

$A_n$

JDD

Ответы:

Ни одно из утверждений не является правдой.

Пусть будет шансом выпадения головы с вероятностью если нечетно и $A_n$ $1/n^2$ $n$ когдачетно. Потом: $1-\frac{1}{n^2}$ $n$

Σ_{N знак равно 1}^{\infty} п (A_{N}, A_{N + 1}^{с}) знак равно Σ_{о d d N}^{\infty} \frac{1}{N^{2}} (1 - \frac{1}{(N + 1)^{2}}) + \underset{е v е N N}{Σ} \frac{1}{N^{2}} (1 - \frac{1}{(N + 1)^{2}}) < Σ_{N знак равно 1}^{\infty} \frac{1}{N^{2}} < \infty,

$\sum_{n=1}^\infty P(A_n,A_{n+1}^c)=\sum_{odd \ n}^\infty \frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)+\sum_{even \ n}\frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)<\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}<\infty.$

Однако явно не существует. Лучшее, что вы можете сделать, это . $\lim_nP(A_n)$ $\lim_n P(A_n,A_{n+1}^c)\rightarrow 0$

Алекс Р.
источник