-сходимость метода конечных элементов, когда правая часть находится только в

9

Я знаю, что кусочно-линейное приближение конечных элементов uh из

Δu(x)=f(x)in Uu(x)=0on U
удовлетворяет
uuhH01(U)ChfL2(U)
при условии, что U достаточно гладко и fL2(U),

Вопрос: еслиfH1(U)L2(U)Имеем ли мы следующую аналогичную оценку, в которой одна производная отводится с обеих сторон:

uuhL2(U)ChfH1(U)?

Можете ли вы предоставить ссылки?

Мысли: Так как у нас еще естьuH01(U)должно быть возможно получить сходимость в L2(U), Интуитивно понятно, что это должно быть возможно даже с кусочно-постоянными функциями.

Bananach
источник
Я думаю, что вы получите uuh0Chuuh1 от стандартного ниче трюка даже для uH1, Вы можете найти это, например, в Braess - Finite elements.
КНЛ

Ответы:

12

Да , это стандартная уловка Обина-Ницше (или двойственность ). Идея состоит в том, чтобы использовать тот факт, чтоL2 это свое собственное двойственное пространство, чтобы написать L2норма как операторная норма

uL2=supϕL2{0}(u,ϕ)ϕL2.
Таким образом, мы должны оценить для произвольного . Для этого мы «поднимаем» до , рассматривая сначала для произвольной решение двойной задачи Используя стандартную регулярность уравнения Пуассона, мы знаем, что (uuh,ϕ)ϕL2uuhH01ϕL2wϕH01
(1)(wϕ,v)=(ϕ,v)for all vH01.
wϕH2CϕL2.

Вставка в и использование ортогональности Галеркина для любого конечного элемента (в вашем случае кусочно-линейной) функции дает оценку Так как это верно для всех , неравенство все еще верно, если мы возьмем инфимум по всем кусочно-линейным . Поэтому мы получаем v=uuhH01(1)wh

(ϕ,uuh)=(wϕ,(uuh))=(wϕwh,(uuh))CuuhH1wϕwhH1.
whwh
(2)uuhL2=supϕL2{0}(uuh,ϕ)ϕL2CuuhH1supϕL2{0}infwhwϕwhH1ϕL2.
Это Обин-Ницше-Лемма .

Следующим шагом теперь является использование стандартных оценок ошибок для наилучшего приближения конечных элементов решений уравнения Пуассона. Поскольку находится только в , мы не получим лучшую оценку, чем Но, к счастью, мы можем использовать тот факт, что имеет более высокую регулярность, так как правая часть вместо . В этом случае у нас есть Вставка и вuH1

(3)uuhH1infvhuvhH1cuH1CfH1.
wϕϕL2H1
(4)infwhwϕwhH1chwϕH2ChϕL2
(3)(4)(2) теперь дает желаемую оценку.

(Обратите внимание, что стандартные оценки требуют, чтобы полиномиальная степень приближения конечных элементов и показатель Соболева истинного решения удовлетворяли , поэтому этот аргумент не работает для кусочно-постоянной ( ) аппроксимации. Мы также использовали это - то есть, что у нас есть соответствующее приближение - что не верно для кусочно-постоянных.)kmm<k+1k=0uuhH01

Поскольку вы просили ссылку: вы можете найти утверждение (даже для отрицательных пространств Соболева вместо ) в теореме 5.8.3 (вместе с теоремой 5.4.8) вHsL2

Сюзанна К. Бреннер и Л. Риджуэй Скотт , MR 2373954 Математическая теория методов конечных элементов , Тексты в прикладной математике ISBN: 978-0-387-75933-3.

Кристиан Клэйсон
источник
1
И я могу использовать нашу новую блестящую функцию цитирования :)
Кристиан
Спасибо за ваш ответ, но непрерывные функции не встроены в не так ли? H01
Бананач
Да, извините, я там погладил - они плотные, но не встроенные. Однако аргумент двойственности работает так же (просто работайте с и напрямую). Я отредактирую свой ответ соответственно. H01H1
Кристиан
Спасибо за обширное обновление. И за нахождение еще одной блестящей цитаты
Bananach
1
@ Praveen Я не думаю, что тебе здесь нужна теория. Просто выберите для постоянного нуля. vh
Бананач