-сходимость метода конечных элементов, когда правая часть находится только в

Я знаю, что кусочно-линейное приближение конечных элементов $u_h$ из

$$\Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U$$ удовлетворяет $$\|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)}$$ при условии, что $U$ достаточно гладко и $f\in L^2(U)$,

Вопрос: если$f\in H^{-1}(U)\setminus L^2(U)$Имеем ли мы следующую аналогичную оценку, в которой одна производная отводится с обеих сторон:

$$\|u-u_{h}\|_{L^2(U)}\leq Ch\|f\|_{H^{-1}(U)}\quad?$$

Можете ли вы предоставить ссылки?

Мысли: Так как у нас еще есть$u\in H^1_0(U)$должно быть возможно получить сходимость в $L^2(U)$, Интуитивно понятно, что это должно быть возможно даже с кусочно-постоянными функциями.

Да , это стандартная уловка Обина-Ницше (или двойственность ). Идея состоит в том, чтобы использовать тот факт, что$L^2$ это свое собственное двойственное пространство, чтобы написать $L^2$норма как операторная норма

$$\|u\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}}.$$ Таким образом, мы должны оценить для произвольного . Для этого мы «поднимаем» до , рассматривая сначала для произвольной решение двойной задачи Используя стандартную регулярность уравнения Пуассона, мы знаем, что $(u-u_h,\phi)$$\phi\in L^2$$u-u_h$$H^1_0$$\phi\in L^2$$w_\phi\in H^1_0$ $$\label{eq1}\tag{1} (\nabla w_\phi,\nabla v) =(\phi,v) \qquad\text{for all }v\in H^1_0.$$ $$\|w_\phi\|_{H^2}\leq C \|\phi\|_{L^2}.$$

Вставка в и использование ортогональности Галеркина для любого конечного элемента (в вашем случае кусочно-линейной) функции дает оценку Так как это верно для всех , неравенство все еще верно, если мы возьмем инфимум по всем кусочно-линейным . Поэтому мы получаем $v=u-u_h\in H^1_0$$\eqref{eq1}$$w_h$

$$\begin{aligned} (\phi,u-u_h) &= (\nabla w_\phi,\nabla (u-u_h))\\ &= (\nabla w_\phi-\nabla w_h,\nabla (u-u_h))\\ &\leq C \|u-u_h\|_{H^1}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}. \end{aligned}$$ $w_h$$w_h$ $$\label{eq2}\tag{2} \|u-u_h\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u-u_h,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}} \leq C \|u-u_h\|_{H^1} \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{\inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}}{\|\phi\|_{L^2}}.$$ Это Обин-Ницше-Лемма .

Следующим шагом теперь является использование стандартных оценок ошибок для наилучшего приближения конечных элементов решений уравнения Пуассона. Поскольку находится только в , мы не получим лучшую оценку, чем Но, к счастью, мы можем использовать тот факт, что имеет более высокую регулярность, так как правая часть вместо . В этом случае у нас есть Вставка и в$u$$H^1$

$$\label{eq3}\tag{3} \|u-u_h\|_{H^1} \leq \inf_{v_h}\|u-v_h\|_{H^1} \leq c \|u\|_{H^1} \leq C \|f\|_{H^{-1}}.$$ $w_\phi$$\phi\in L^2$$H^{-1}$ $$\label{eq4}\tag{4} \inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1} \leq c h \|w_\phi\|_{H^2} \leq C h \|\phi\|_{L^2}$$ $\eqref{eq3}$$\eqref{eq4}$$\eqref{eq2}$ теперь дает желаемую оценку.

(Обратите внимание, что стандартные оценки требуют, чтобы полиномиальная степень приближения конечных элементов и показатель Соболева истинного решения удовлетворяли , поэтому этот аргумент не работает для кусочно-постоянной ( ) аппроксимации. Мы также использовали это - то есть, что у нас есть соответствующее приближение - что не верно для кусочно-постоянных.)$k$$m$$m<k+1$$k=0$$u-u_h\in H^1_0$

Поскольку вы просили ссылку: вы можете найти утверждение (даже для отрицательных пространств Соболева вместо ) в теореме 5.8.3 (вместе с теоремой 5.4.8) в$H^{-s}$$L^2$

Сюзанна К. Бреннер и Л. Риджуэй Скотт , MR 2373954 Математическая теория методов конечных элементов , Тексты в прикладной математике ISBN: 978-0-387-75933-3.