Каковы концептуальные различия между методом конечных элементов и методом конечных объемов?

Существует очевидная разница между конечной разностью и методом конечных объемов (переход от точечного определения уравнений к интегральным средним по ячейкам). Но я считаю, что FEM и FVM очень похожи; они оба используют интегральную форму и усредняют по клеткам.

Что делает метод FEM, а не FVM? Я прочитал небольшую справочную информацию о FEM. Я понимаю, что уравнения записаны в слабой форме, это дает методу несколько иную точку изложения, чем FVM. Однако на концептуальном уровне я не понимаю, в чем различия. Делает ли FEM какое-то предположение относительно того, как неизвестное изменяется внутри клетки, разве это не может быть сделано с помощью FVM?

Я в основном исходил из 1D, так что, возможно, у FEM есть преимущества в более чем одном измерении?

Я не нашел много информации по этой теме в сети. В Википедии есть раздел о том, чем FEM отличается от метода конечных разностей, но об этом http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method#Comparison_to_the_finite_difference_method .

Конечный элемент: объемные интегралы, внутренний полиномиальный порядок

Классические методы конечных элементов предполагают непрерывные или слабо непрерывные аппроксимационные пространства и требуют выполнения объемных интегралов слабой формы. Порядок точности увеличивается путем повышения порядка аппроксимации в элементах. Методы не совсем консервативны, поэтому часто борются со стабильностью для прерывистых процессов.

Конечный объем: поверхностные интегралы, потоки по разрывным данным, порядок реконструкции

Методы конечного объема используют кусочно-постоянные аппроксимативные пространства и требуют выполнения интегралов по кусочно-постоянным тестовым функциям. Это дает точные утверждения сохранения. Объемный интеграл преобразуется в поверхностный интеграл, и вся физика определяется в терминах потоков в этих поверхностных интегралах. Для гиперболических задач первого порядка это решение Римана. Второй порядок / эллиптические потоки являются более тонкими. Порядок точности увеличивается путем использования соседей для (консервативного) восстановления более высокого порядка представлений состояния внутри элементов (реконструкция / ограничение наклона) или путем восстановления потоков (ограничение потока). Процесс реконструкции обычно нелинейен для управления колебаниями вокруг прерывистых элементов решения, см. методы уменьшения общей вариации (TVD) и, по существу, не колебательные (ENO / WENO). Нелинейная дискретизация необходима для одновременного получения как точности, превышающей точность первого порядка в гладких областях, так и ограниченного полного изменения по разрывам, см.Теорема Годунова .

Комментарии

И FE, и FV легко определить с точностью до второго порядка на неструктурированных сетках. FE проще выйти за пределы второго порядка на неструктурированных сетках. FV обрабатывает несогласованные сетки проще и надежнее.

Объединяя FE и FV

Методы могут быть женаты несколькими способами. Разрывные методы Галеркина представляют собой методы конечных элементов, в которых используются разрывные базисные функции, что позволяет получить решатели Римана и повысить устойчивость для разрывных процессов (особенно гиперболических). Методы DG могут использоваться с нелинейными ограничителями (обычно с некоторым снижением точности), но удовлетворяют неравенству по энтропии по ячейкам без ограничения и, таким образом, могут использоваться без ограничения для некоторых задач, когда другие схемы требуют ограничителей. (Это особенно полезно для оптимизации на основе присоединения, поскольку она делает дискретное присоединение более представительным для непрерывных сопряженных уравнений.) Смешанные методы FE для эллиптических задач используют разрывные базисные функции и после некоторых вариантов квадратуры могут быть переосмыслены как стандартные методы конечного объема смотри этот ответ$P_N P_M$

Концептуальные различия FEM и FVM столь же тонки, как и различия между деревом и сосной.

Если вы сравните определенную схему FEM с дискретизацией FVM, примененной к конкретной проблеме, то вы сможете говорить о фундаментальных различиях, которые становятся очевидными при разных подходах к реализации и разных свойствах аппроксимации (как изложил @Jed Brown в своем ответе).

Но в целом я бы сказал, что FVM - это особый случай FEM, использующий сетку ячеек и кусочно-постоянные тестовые функции. Это соотношение также используется для анализа сходимости FVM, как это можно найти в книге Grossmann, Roos & Stynes: Численная обработка уравнений с частными производными .

Основное различие заключается просто в значении, которое нужно приложить к результатам. FDM предсказывает точечные значения любого аспекта решения. Интерполяция между этими значениями часто остается на усмотрение пользователя. FVM прогнозирует средние значения сохраняемых переменных в определенных контрольных объемах. Следовательно, он предсказывает интегрированные консервативные переменные и может показать, что он сходится к слабым (разрывным) решениям. FEM дает набор дискретных значений, из которых приближенное решение может быть однозначно выведено повсеместно путем вызова набора базисных функций. Обычно, но не обязательно, переменные являются консервативными. Можно использовать методы конечных разностей, которые в некотором смысле являются консервативными, в соответствии с конкретным квадратурным правилом.

Это вопросы определения. Есть много вариантов всех трех методов. Не каждый метод чисто одного типа, и детали варьируются в зависимости от области применения. Исследователи, изобретающие новый метод, используют те инструменты, которые помогут обеспечить свойства, которые они ищут. Как вы, похоже, обнаружили, трудно найти авторитетное обсуждение, и мне было бы трудно его дать. Лучший совет, который я могу дать, - продолжать читать, не ожидая совершенно четкого ответа, но доверяя тем вещам, которые имеют для вас смысл.