Какова общая идея метода Ницше в численном анализе?

17

Я знаю, что метод Ницше является очень привлекательным, поскольку он позволяет учитывать граничные условия типа Дирихле или слабо связываться с граничными условиями трения без использования множителей Лагранжа. И его преимущество, заключающееся в преобразовании граничного условия Дирихле в слабые члены, аналогично граничному условию Неймана, обусловлено тем фактом, что реализация зависит от модели.

Тем не менее, это кажется слишком общим для меня. Можете ли вы дать мне более конкретное представление об этом методе? Простой пример был бы оценен.

Ань Ти ДИНХ
источник
Я не думаю, что понимаю ваш вопрос. Вы правильно определяете, почему метод был изобретен (для обработки условий Дирихле в слабой форме). Что вы подразумеваете под «Тем не менее, это кажется мне слишком общим. Не могли бы вы дать мне более конкретное представление об этом методе? Простой пример дорогостоящий».?
Вольфганг Бангерт
@WolfgangBangerth: мне нужен (простой) пример для этой идеи. Это так абстрактно для меня.
Ань Ти Динь
2
@ Оливер: Я предполагаю, что вы имеете в виду «дорогой», как в «дорогой», «драгоценный», то есть «ценится»? Я позволил себе сменить слово; если вы не согласны, не стесняйтесь отменить редактирование.
Кристиан Клэйсон

Ответы:

24

Метод Ницше связан с прерывистыми методами Галеркина (действительно, как указывает Вольфганг, он является предшественником этих методов) и может быть получен аналогичным образом. Рассмотрим простейшую задачу - уравнение Пуассона: Сейчас мы ищем вариационную формулировку, которая

(1){-ΔUзнак равноена Ω,Uзнак равнограммна Ω,
  1. удовлетворяется (слабым) решением (т. е. согласованным),UЧАС1(Ω)
  2. симметричен по и v ,Uv
  3. допускает единственное решение (что означает, что билинейная форма является принудительной).

Как обычно, мы начинаем с сильной формы дифференциального уравнения, умножая ее на тестовую функцию и интегрируя по частям. Начиная с правой стороны, мы получаем ( е , v ) = ( - Δ U , v )vЧАС1(Ω) где в последнем уравнении мы добавилина границепродуктивный ноль0=u-g. Перестановка членов для разделения линейной и билинейной форм теперь дает уравнение в вариациях для симметричной билинейной формы, которое удовлетворяется для решенияuH1(Ω)из(1).

(f,v)=(Δu,v)=(u,v)Ωνuvds=(u,v)ΩνuvdsΩ(ug)νvds
0=uguH1(Ω)(1)

u=vcvH12vH1(Ω)L2ηΩ(ug)vdsη>0uH1(Ω)

(u,v)ΩνuvdsΩuνvds+ηΩuvds=Ωgνvds+ηΩgvds+Ωfvdxfor all vH1(Ω).

Taking instead of u,vH1(Ω) discrete approximations uh,vhVhH1(Ω) yields the usual Galerkin approximation. Note that since it's non-conforming due to the boundary conditions (we are looking for the discrete solution in a space that is larger than the one we sought the continuous solution in), one cannot deduce well-posedness of the discrete problem from that of the continuous problem. Nitsche now showed that if η is chosen as ch1 for c>0 sufficiently large, the discrete problem is in fact stable (with respect to a suitable mesh-dependent norm).

(This is not Nitsche's original derivation, which predates discontinuous Galerkin methods and starts from an equivalent minimization problem. In fact, his original paper does not mention the corresponding bilinear form at all, but you can find it in, e.g., Freund and Stenberg, On weakly imposed boundary conditions for second-order problems, Proceedings of the Ninth Int. Conf. Finite Elements in Fluids, Venice 1995. M. Morandi Cecchi et al., Eds. pp. 327-336.)

Christian Clason
источник
1
Your first sentence is not wrong, but historically inaccurate: Nitsche's idea came first and inspired the development of discontinuous Galerkin methods. That said, this doesn't take away from the otherwise excellent answer.
Wolfgang Bangerth
@WolfgangBangerth You are of course correct; no causality was implied, only correlation. But it is important to give proper attribution, especially to people who otherwise get short-shifted. I'll edit to make that clear.
Christian Clason
Questions: 1. Could you elaborate more on the coercivity issue prior to adding the additional boundary term? 2. What does "non-conforming" here mean? 3. I thought I read that stability is an automatic result of coercivity of the bilinear form..? Though this explanation is quite good (the only explanation I've been able to find in fact), can anyone link to another overall explanation of the method (and/or its derivation) just for comparison? Even if I could locate the original paper, not sure it would be much help. The Freund and Stenberg paper only gives a short synopsis and a couple specific
Nights
Nonconformity: the discrete solution space Vh is not a subspace of the continuous solution space Hg1(Ω) - because the Dirichlet boundary conditions are enforced only in a weak sense. Here is a potentially useful link.
GoHokies
@Nights I have edited the answer to address your points (except that in your second paragraph, obviously).
Christian Clason