Какова общая идея метода Ницше в численном анализе?

Я знаю, что метод Ницше является очень привлекательным, поскольку он позволяет учитывать граничные условия типа Дирихле или слабо связываться с граничными условиями трения без использования множителей Лагранжа. И его преимущество, заключающееся в преобразовании граничного условия Дирихле в слабые члены, аналогично граничному условию Неймана, обусловлено тем фактом, что реализация зависит от модели.

Тем не менее, это кажется слишком общим для меня. Можете ли вы дать мне более конкретное представление об этом методе? Простой пример был бы оценен.

Метод Ницше связан с прерывистыми методами Галеркина (действительно, как указывает Вольфганг, он является предшественником этих методов) и может быть получен аналогичным образом. Рассмотрим простейшую задачу - уравнение Пуассона: Сейчас мы ищем вариационную формулировку, которая

$$\left\{\begin{aligned} -\Delta u &= f \qquad\text{on }\Omega,\\ u &= g \qquad\text{on }\partial\Omega. \end{aligned}\right. \tag{1}$$

1. удовлетворяется (слабым) решением (т. е. согласованным),$u\in H^1(\Omega)$
2. симметричен по и v ,$u$$v$
3. допускает единственное решение (что означает, что билинейная форма является принудительной).

Как обычно, мы начинаем с сильной формы дифференциального уравнения, умножая ее на тестовую функцию и интегрируя по частям. Начиная с правой стороны, мы получаем ( е , v ) = ( - Δ U , v $v\in H^1(\Omega)$ где в последнем уравнении мы добавилина границепродуктивный ноль0=u-g. Перестановка членов для разделения линейной и билинейной форм теперь дает уравнение в вариациях для симметричной билинейной формы, которое удовлетворяется для решенияu∈H1(Ω)из(1).

$$\begin{aligned} (f ,v) = (-\Delta u,v)&=(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds \\ &= (\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} (u-g)\partial_\nu v\,ds \end{aligned}$$ $0=u-g$$u\in H^1(\Omega)$$(1)$

$u=v$$c\|v\|_{H^1}^2$$v\in H^1(\Omega)$$L^2$$\eta\int_{\partial\Omega} (u-g)v\,ds$$\eta>0$$u\in H^1(\Omega)$

$$(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} u\partial_\nu v\,ds +\eta\int_{\partial\Omega} u v\,ds = -\int_{\partial\Omega} g\partial_\nu v\,ds + \eta\int_{\partial\Omega} g v\,ds + \int_\Omega f v\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1(\Omega).$$

Taking instead of $u,v\in H^1(\Omega)$ discrete approximations $u_h,v_h\in V_h\subset H^1(\Omega)$ yields the usual Galerkin approximation. Note that since it's non-conforming due to the boundary conditions (we are looking for the discrete solution in a space that is larger than the one we sought the continuous solution in), one cannot deduce well-posedness of the discrete problem from that of the continuous problem. Nitsche now showed that if $\eta$ is chosen as $ch^{-1}$ for $c>0$ sufficiently large, the discrete problem is in fact stable (with respect to a suitable mesh-dependent norm).

(This is not Nitsche's original derivation, which predates discontinuous Galerkin methods and starts from an equivalent minimization problem. In fact, his original paper does not mention the corresponding bilinear form at all, but you can find it in, e.g., Freund and Stenberg, On weakly imposed boundary conditions for second-order problems, Proceedings of the Ninth Int. Conf. Finite Elements in Fluids, Venice 1995. M. Morandi Cecchi et al., Eds. pp. 327-336.)