Я привык думать о конечных различиях как о частном случае конечных элементов в очень ограниченной сетке. Итак, каковы условия выбора между методом конечных разностей (FDM) и методом конечных элементов (FEM) в качестве численного метода?
На стороне метода конечных разностей (FDM) можно считать, что они концептуально проще и проще в реализации, чем метод конечных элементов (FEM). Преимущество FEM состоит в том, что они очень гибкие, например, сетки могут быть очень неоднородными, а домены могут иметь произвольную форму.
Единственный известный мне пример того, где FDM оказался лучше FEM, - это Селия, Булутас, Зарба , где преимущество заключается в методе FD, использующем другую дискретизацию производной по времени, которая, однако, может быть исправлена для метода конечных элементов ,
источник
Этот вопрос может быть слишком широким, чтобы иметь содержательный ответ. Большинство отвечающих будут знакомы только с некоторыми подмножествами всех видов дискретизации FD и FE, которые могут быть использованы. Обратите внимание, что как FD, так и FE
Вы поняли идею. Конечно, в конкретной дисциплине методы FD и FE, которые люди обычно реализуют и используют, могут иметь очень разные особенности. Но обычно это не связано с какими-либо внутренними ограничениями двух подходов к дискретизации.
Относительно схем FD произвольно высокого порядка: коэффициенты схем FD высокого порядка могут автоматически генерироваться для любого порядка; см . книгу Левека , например. Спектральные методы коллокации, которые являются методами FD, будут сходиться быстрее, чем любая степень расстояния между ячейками; см . книгу Трефетена , например.
источник
Преимущества конечных элементов (ИП):
Преимущества конечных разностей (FD):
Иногда люди говорят, что «конечные различия» означают интегратора для ODE, такого как Рунге-Кутта или метод Адамса. В этом случае есть еще одно преимущество FD:
в то время как FE нужна некоторая нелинейная итерация, например метод Ньютона.
источник
В нескольких хороших ответах уже говорилось о том, что плюсы методов конечных элементов являются гибкими и мощными, и здесь я приведу еще одно преимущество FEM, с точки зрения пространства Соболева и дифференциальной геометрии, состоит в том, что возможность пространства конечных элементов наследовать условие физической непрерывности Соболевские пространства, в которых заключается истинное решение.
Например, элемент лица Равиарта-Томаса для плоской упругости и смешанный метод для диффузии; Неделечный краевой элемент для вычислительной электромагнетики.
Обычно решение PDE, которое является дифференциальной формой, лежащей в "энергетически -интегрируемом" пространстве: где - внешняя производная, и мы можем построить когомологию де Рама вокруг этого пространства Это означает, что мы можем построить точную последовательность де Рама, как в трехмерном пространстве, как показано ниже:k L2
диапазон оператора - это нулевое пространство следующего оператора, и в этом есть много хороших свойств: если бы мы могли построить пространство конечных элементов, чтобы наследовать эту точную последовательность де Рама, тогда метод Галеркина, основанный на этом пространстве конечных элементов, будет быть стабильным и приблизится к реальному решению. И мы могли бы получить свойство устойчивости и аппроксимации оператора интерполяции просто по коммутирующей диаграмме из последовательности де Рама, плюс мы могли бы построить апостериорную процедуру оценки ошибки и адаптивного уточнения сетки на основе этой последовательности.
Подробнее об этом см. Статью Дугласа Арнольда в Acta Numerica: « Внешнее исчисление конечных элементов, гомологические методы и приложения » и слайд, кратко представляющий идею.
источник
Важно различать пространственные и временные схемы.
Конечные элементы часто используют конечные разности для интеграции временных членов (например, явный Эйлер, неявный, Кранка-Николсона или Рунга Кутта для переходной диффузии) и конечных элементов для пространственной дискретизации.
Конечные элементы прекрасно сочетаются с нерегулярными сетками. Они могут быть основаны на вариационных принципах, но они обычно обобщаются с использованием метода взвешенных невязок. Легко создавать библиотеки элементов, которые используют разные порядки полиномов и применяют такие ограничения, как несжимаемость, с использованием множителей Лагранжа.
Обе формулировки являются средством для достижения цели: выражение дифференциального уравнения в терминах систем уравнений и линейной алгебры.
Заявления о скорости одного метода по сравнению с другим необходимо уточнять, описывая алгоритм. Например, преобразование механических задач в задачи гиперболической динамики в некоторых случаях может дать более быстрые результаты, поскольку они заменяют разложение матрицы на умножение и сложение.
Я признаю, что я знаю намного больше о методах конечных элементов, чем я делаю конечные различия. FEM доступен в коммерческих упаковках и широко используется в промышленности и науке для решения задач механики твердого тела и теплообмена. Я считаю, что в вычислительной гидродинамике используются методы конечных разностей или методы конечных объемов.
источник