Стохастический рост в непрерывном времени

13

Литература: см. Chang (1988) для теоретической части и Achdou et al. (2015) для числовой части соответственно.

модель

Рассмотрим следующую стохастическую задачу оптимального роста в обозначениях на душу населения. все стандартно, за исключением который является приращение стандартного винеровского процесса, т.е. . Скорость роста населения имеет среднее значение и дисперсию .

maxc0eρtu(c)dts.t.   dk=[f(k)(nσ2)kc]dtσkdzc[0,f(k)]k(0)=k0
dzz(t)N(0,t)nσ2

Аналитическое решение

Мы предполагаем, что технология Кобба-Дугласа

f(k)=kα,α(0,1)

и утилита CRRA Настройка Гамильтона-Якоби - уравнение Беллмана (HJB-e)

u(c)=c1γ1γ,γ>1.
ρv(k)=maxc{c1γ1γ+v(k)(kα(nσ2)kc)+v(k)k2σ22}

Условие первого порядка (FOC) читается как где обозначает функцию политики.

c=v(k)1γ=:π(k)
π()

Восстановить FOC в HJB-e

ρv(k)=v(k)γ1γ1γ+v(k)kαv(k)(nσ2)kv(k)γ1γ+v(k)k2σ22.

Мы предполагаем функциональную форму с помощью ( Posch (2009, уравнение 41) ) v(k)

v(k)=Ψk1αγ1αγ

где - некоторая постоянная Производные и первого порядка задаются как Ψv

v(k)=Ψkαγv(k)=αγΨk1αγ.

Затем HJB-e читает

ρΨk1αγ1αγ=Ψγ1γkα(1γ)1γ+Ψkα(1γ)(nσ2)Ψk1αγΨγ1γkα(1γ)αγΨk1αγσ22k1αγ(ρ1αγ+nσ2(1αγ2))=kα(1γ)[1+Ψ1γγ1γ]

Максимальное значение HJB-e истинно, если выполняются следующие условия

ρ=(n+σ2(1αγ2))(1αγ)Ψ=(γ1γ)γ

Повторно подставьте в которое в итоге дает функцию истинного значения Ψv

v(k)=(γ1γ)γk1αγ1αγ.
  • Как получилось, что не зависит от ?vσ

Таким образом, детерминированная и стохастическая функция значения должны быть одинаковыми. Тогда функция политики легко определяется как (используйте FOC и производную от значения)

π(k)=(11γ)kα.

Обратите внимание, что эта функция также не зависит от .σ

Численное приближение

Я решил HJB-е по схеме против ветра. Погрешность . На рисунке ниже я изображаю функцию политики для переменной . От я прихожу к истинному решению (фиолетовый). Но для приближенная функция политики отличается от истинной. Что не должно быть так, поскольку не зависит от , верно? ϵ=1e10σσ0σ>0π(k)σ

  • Может ли кто-нибудь подтвердить, что приближенные функции политики должны быть одинаковыми для любой , поскольку истинная функция не зависит от ?σσ

введите описание изображения здесь

невежественный
источник
Что меня беспокоит, так это первое условие «iff» после того, как вы напишите «максимизированный HJB-e истинен, если выполняются следующие условия»: это очень специфическое отношение равенства, которое должно выполняться между всеми параметрами параметров предпочтения модели , рост населения, производительность капитала и волатильность. Интересно: можем ли мы действительно работать с угаданными функциями, валидность которых зависит от такого очень узкого условия на параметры?
Алекос Пападопулос
Что ж, здесь я на самом деле исправляю как функцию от четырех оставшихся параметров. Таким образом, уравнение всегда верно, если, кроме того, имеет место. Интересно: есть ли какое-то правило, когда угадывание функции не разрешено? Я имею в виду, что мы заинтересованы в поиске истинного решения, и в некоторых конкретных условиях мы получаем истинное решение. Я не уверен, что вас беспокоит здесь с теоретической точки зрения? Конечно, это может ограничивать эмпирическую работу, но здесь дело не в этом. Мы довольно заинтересованы в решении HJBe, и это может быть сделано. Если эмпирик (1/2)ρ=ρ(α,γ,n,σ)ρ>0
невежествен
оценивает и мы находим, что условие нарушается, тогда мы можем отклонить модель. Однако решение остается верным в принципе. (2/2){α,γ,n,ρ,σ}ρ=....
невежествен
Моя забота не об эмпирической достоверности. Что мне интересно, так это то, в какой степени конкретное предположение о функциональной форме функции значения зависит от этого отношения между параметрами. Без ссылки на какие-либо эмпирические данные, если предположить, что отношение не выполняется, что тогда? Должны ли мы угадать функцию значения, которая даже не экспоненциально по , или достаточно будет сохранить экспоненциальную структуру, но попробовать другие способы включения в нее параметров? (кстати, я также изучаю ваш главный вопрос, поскольку эта дискуссия, вероятно, является k
второстепенной
Вы уверены, что проблема оптимизации сформулирована правильно? Нет, например, ожидания оперируемого, скажем, ? Как указано сейчас, и, следовательно, вероятно, принимают любое значение, заданное винеровским процессом . f(k)kf(k)z
Ганс

Ответы:

1

Больше комментария:

В постановке задачи должен быть оператор ожидания, иначе проблема не имеет смысла.

То, что «... детерминистическая и стохастическая функция значения должны быть одинаковыми ...» не совсем верно. Значение имеет решающее значение в ограниченииσ2

ρ=(n+σ2(1αγ2))(1αγ).

Если , то, вероятно, для экономически обоснованных и , и в этом случае детерминированная проблема может быть некорректной. Что верно, так это то, что функция стохастического значения принимает заданную форму, только если выполняется ограничение параметра.σ2=0ρ<0αγ

Выносим термин Ito с правой стороны12σ2

σ2(1αγ2)(1αγ),

ограничение может быть записано как

ρ+n(1αγ)=12σ2[(1αγ)((1αγ)2)].

С правой стороны мы имеем эластичность члена межвременного замещения и члена отвращения к риску . Ограничение говорит о том, что при определенном выборе они компенсируют друг друга, вплоть до предпочтения времени и смещения . Поэтому функция значения не зависит от .(1αγ)(1αγ)2σρn(1αγ)σ

То, что функция значения не зависит от является артефактом ограничения и выбора CRRA . В общем, не правда.σu

Майкл
источник