Вызывает ли неприятие риска снижение предельной полезности или наоборот?

Пусть будет набором возможных состояний мира или возможных предпочтений, которые может иметь человек. Пусть множество «авантюр» или «лотерей», то есть множества вероятностных распределений над . Тогда у каждого человека будет предпочтительный порядок состояний в , а также предпочтительный порядок лотерей в . Теорема фон Неймана-Моргенштерна утверждает, что, предполагая, что ваш порядок предпочтений над подчиняется определенным аксиомам рациональности, ваши предпочтения могут быть представлены функцией полезности . (Эта функция уникальна вплоть до умножения скаляров и сложения констант.) Это означает, что для любых двух лотерей L_1$A$$G(A)$$A$$A$$G(A)$$G(A)$$u: A → ℝ$$L_1$и $L_2$ в $G(A)$ , вы предпочитаете от $L_1$ до $L_2$ тогда и только тогда, когда ожидаемое значение $u$ в $L_1$ больше, чем ожидаемое значение $u$ в $L_2$ . Другими словами, вы максимизируете ожидаемое значение функции полезности.

Теперь то, что вы максимизируете ожидаемую ценность своей функции полезности, не означает, что вы максимизируете ожидаемую ценность реальных вещей, таких как деньги. В конце концов, люди часто склонны к риску; они говорят, что "птица в руке стоит двух в кустах". Отвращение к риску означает, что вы цените азартную игру меньше, чем ожидаемая стоимость денег, которые вы получите. Если мы выразим это понятие в терминах функции полезности фон Неймана-Моргенштерна, мы получим следующий результат через неравенство Йенсена: человек не склонен к риску тогда и только тогда, когда его функция полезности является вогнутой функцией ваших денег, т.е. уклонение от риска - это то же самое, что и степень снижения предельной полезности денег. (См. Стр. 13 этого PDF .)

У меня вопрос, в каком направлении движется причина? Отражают ли значения функции полезности фон Неймана-Моргенштерна интенсивность ваших предпочтений и являются ли они склонностью к риску из-за того, что не учитывают предпочтения будущих благополучных людей по сравнению с предпочтениями будущих версий себя, которые беднее и, следовательно, ценят денег больше (как Брэд Делонг предлагает здесь )? Или причинно-следственная связь идет по-другому: ваша терпимость к риску определяет форму вашей функции полезности, так что функция полезности фон Неймана-Моргенштерна ничего не говорит вам об относительной интенсивности ваших предпочтений?

Я думаю, что нашел ответ на свой вопрос в этом отрывке из статьи нобелевского лауреата Джона С. Харсаньи 1994 года «Нормативная обоснованность и значение утилит фон Неймана-Моргенштерна», представленной на девятом Международном конгрессе логики, методологии и философии Наука. Harsanyi начинает с доказательства той же леммы, которую Алекос доказал в своем ответе, а именно: если - функция полезности vNM индивида, то$u$$u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$тогда и только тогда, когда они предпочли бы гарантированные 5 долларов по сравнению с 50% из 10 долларов и 50% с вероятностью 0 долларов. В разделе комментариев я сказал, что этого недостаточно, чтобы продемонстрировать, что функция полезности vNM представляет собой интенсивность предпочтений, потому что, что если фактическое удовольствие и боль индивидуума были точно описаны какой-то другой функцией полезности , которая является монотонной трансформацией, но не аффинной трансформацией из ? В таком случае не может не удовлетворять ожидаемому значению свойства, и не может ?$v$$u$$v$$v(10) - v(5) = v(5) - v(0)$

У Harsanyi есть умный аргумент, касающийся этой проблемы. Пусть будет лотереей, в которой вы гарантированно получите 5 долларов, пусть будет лотереей, в которой у вас есть шанс 50% на 10 долларов, и 50% шансом 0 долларов, и пусть будет лотереей, где у вас есть шанс 50% 10 долларов и 50% шанс 5 долларов. Тогда, очевидно, человек предпочитает как и . И Harsanyi утверждает, что предпочтительнее менее сильно, чем предпочтительнее тогда и только тогда, когда . Это потому, что в выборе между,$L_1$$L_2$$L_3$$L_3$$L_1$$L_2$$L_3$$L_1$$L_3$$L_2$$v(10) - v(5) < v(5) - v(0)$$L_3$ против , 50% времени, когда они получают 5 долларов, и 50% времени, когда им приходится выбирать между 10 и 5. Аналогичным образом, при выборе между и , 50% времени они получают 10 долларов, и 50% времени им приходится выбирать между 5 и 0. $L_1$$L_3$$L_2$

Теперь вот главный ход: предпочтительнее тогда и только тогда, когда предпочтительнее менее сильно, чем предпочтительнее . Следовательно, предпочтительнее тогда и только тогда, когда . И, таким образом, мы приходим к великому выводу, что тогда и только тогда, когда ,$L_1$$L_2$$L_3$$L_1$$L_3$$L_2$$L_1$$L_2$$v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$$u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$$v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$

Таким образом, Харасаньи приходит к выводу, что функция полезности vNM представляет интенсивности предпочтений. Таким образом, ответ на мой вопрос, по-видимому, заключается в том, что уменьшение предельной полезности в функции полезности vNM отражает подлинное уменьшение предельной полезности, когда речь идет об интенсивности предпочтений, и, таким образом (при условии, что аксиомы vNM верны), уменьшение предельной полезности действительно является причиной риска. отвращение.

Кстати, на заметку о том, что мне интересно, можем ли мы идентифицировать множество всех функций которые удовлетворяют ограничению тогда и только тогда, когда (и аналогично для значений, больших и равных). (РЕДАКТИРОВАТЬ: я спросил об этом на Mathematics.SE здесь .)$v$$u(x) - u(y) < u(z) - u(w)$$v(x)-v(y) < v(z) -v(w)$

Функция полезности представляет собой представление предпочтений, которые традиционно выводятся из вариантов. Предпочтения предшествуют полезности. Я бы не назвал связь между полезностью и предпочтениями причинностью, просто математическим отношением.

Отвращение к риску (предпочтение риска) не связано с дисконтированием, которое измеряет предпочтение времени. Нет смысла говорить, что неприятие риска связано с дисконтированием предпочтений будущих «я».

Свойство Expected Utility не является свойством, которое зависит от функциональной формы функции полезности. Его существование зависит от удовлетворения определенных «аксиом» (которые были бы более точно описаны как «условия»), которые имеют отношение к предпочтениям / поведению людей. Им может быть дано строгое математическое выражение (что хорошо), но они имеют отношение к предпочтениям, то есть до того, как будет указана любая функциональная форма для функции полезности. Посмотрим, что это значит. В комментарии ОП написали

«... если x, y и z - три фиксированных элемента A, то количество варьируется от человека к человеку ( среди людей, которые удовлетворяют аксиомам vNM), но они не различаются между различными функциями полезности vNM для одного и того же человека. Таким образом, эта величина передает что-то определенное для человека ".$[u(x) - u(y)]/[u(y) - u(z)]$

Оно делает.

Цитата из Jehle & Renyi (2011) «Усовершенствованная микроэкономическая теория» (3-е изд) , гл. 2 стр. 108

«Мы пришли к выводу, что отношение различий полезности имеет неотъемлемое значение в отношении предпочтений индивидуума, и они должны принимать одно и то же значение для каждого представления полезности VNM (отношение слабых предпочтений). Поэтому представления полезности VNM предоставляют отчетливо больше, чем порядковая информация о предпочтения лица, принимающего решения, в противном случае с помощью подходящих монотонных преобразований такие отношения могут принимать много разных значений ".

В своем примере перед цитатой они показывают, что

где - это вероятность, которая отражает предпочтения, которые мы моделируем. Снова цитата (стр. 107)$\alpha$

«Хорошо заметьте, что число вероятности определяется и является отражением предпочтений лица, принимающего решения. Это значимое число. Его нельзя удвоить, добавить к нему константу или преобразовать ее любым способом, не изменяя также предпочтения, с которыми это связано ".$\alpha$

И - это коэффициент (не «отношение шансов»). $(1-\alpha)/\alpha$

Итак, вот вам: функция полезности vNM связана с шансами, которые могут характеризовать предпочтения человека.

ДОБАВЛЕНИЕ
После интересного, но слишком продолжительного обмена мнениями и мыслями в комментариях к ФП я решил дополнить этот ответ примером, чтобы показать, что в контексте обсуждаемой нами конкретной теории предпочтений «интенсивность предпочтений» «(как это неофициально обсуждается здесь) не может быть отделено от« отношения к риску »- они неразрывно связаны.

Предположим, что человек заявляет (поскольку он имеет на это полное право): «Мои предпочтения монотонны, и я предпочитаю больше, чем меньше. Более того, следующие пять евро дадут мне точно такую ​​же полезность, что и пятеро после них». Обратите внимание, что речь идет об отдельных лицах - мы не можем задавать ему вопросы по поводу того, может ли полезность быть кардинальной или нет и т. Д. Начиная с нуля для удобства, мы символизируем его утверждение как

В контексте обсуждения с ФП это утверждение о «интенсивности предпочтений».

Затем мы предоставляем этому человеку следующий выбор: он может либо получить евро, либо он может участвовать в игре где он получит евро с вероятностью или евро с вероятностью . Затем человек заявляет, что он строго предпочитает получать евро с уверенностью. Это заявление, раскрывающее «отношение к риску».$5$$G$$0$$1/2$$10$$1/2$$5$

Вопрос: Могут ли предпочтения данного лица, как описано в его двух утверждениях, быть представлены функцией полезности, которая обладает ожидаемым свойством полезности?

Ответ: Нет.

Доказательство: своим вторым утверждением, человек показал, что эквивалентный уровень азартной игры строго меньше евро:$CE_G$$5$

Поэтому мы имеем это

Теперь для свойства «Ожидаемая утилита» должно быть

Из-за (который выражает «отношение к риску» человека) мы имеем, что$(2)$

Но это противоречит , что выражает «интенсивность предпочтений» личности. $(1)$

Таким образом, мы приходим к выводу, что лицо, чьи предпочтения описаны вышеупомянутыми утверждениями, не может быть представлено функцией полезности, которая обладает ожидаемым свойством полезности.

Другими словами, для свойства «Ожидаемая полезность» «отношение к риску» нельзя отделить от «интенсивности предпочтений». Если человек заявил, что он равнодушен между определенными евро и азартной игрой , то его предпочтения могут быть представлены функцией полезности, которая имеет свойство ЕС. Но для того, чтобы этого добиться, мы должны были «согласовать» «отношение к риску» с «интенсивностью предпочтений».$5$$G$