Возьми или оставь это PBE

Я нашел интересный вопрос, глядя на совершенное байесовское равновесие. Я не видел вопроса, где убеждения не являются дискретными.

Существует один потенциальный покупатель объекта, который имеет нулевую ценность для продавца. Оценка этого покупателя v равномерно распределена по [0, 1] и является частной информацией. Продавец называет цену$p_1$ который покупатель принимает или отклоняет.

Если он принимает, объект продается по согласованной цене, и покупатель платит $v − p_1$ и продавец $p_1$,

Если он отклоняет предложение, продавец делает еще одно ценовое предложение, p2. Если покупатель принимает это, его выплата$\delta_(v − p_2)$ и продавец $\delta p_2$, где $\delta = 0.5$,

Если он отвергает, оба игрока получают ноль (больше никаких предложений).

Найти идеальное байесовское равновесие.

Мой обычный подход состоит в том, чтобы исправить убеждения, но я не совсем знаю, как сделать это с постоянными убеждениями. Любой совет?

После публикации вчера плохого решения я думаю, что получил лучшее:

Стратегия покупателя состоит из двух функций, $(f_1(v,p_1),f_2(v,p_1,p_2))$ где обе функции отображаются на $\left\{A,R\right\}$ (где $A$ означает Принять, $R$за отклонение). Стратегия продавца -$(p_1,p_2(f_1(v,p_1)))$, Вы получаете решение через обратную индукцию. В PBE$f_2(v,p_1,p_2)$ карты для $A$ если и только если $v \geq p_2$, (Существует несущественная свобода в равенстве.) В PBE продавец считает, что существует множество$H$ видов, по которым покупатель отказался от ее предложения $p_1$, затем

$$p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(f_2(v,p_1,p_2) = A | f_1(v,p_1) = R).$$ Покупатель примет предложение тогда и только тогда, когда Отсюда вы получаете Левая часть этого уравнения увеличивается в , поэтому типы с высокой оценкой примут. Это означает, что в PBE множество таково, что Отсюда мы получаем оптимальное заданное : В PBE есть функция : $p_1$ $$v - p_1 \geq \delta \cdot (v - p_2).$$ $$v \cdot (1 - \delta) \geq p_1 - \delta \cdot p_2.$$ $v$$H$ $$H = [0, \bar{v}).$$ $p_2$$\bar{v}$ $$p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(v \geq p_2 | v \in [0, \bar{v})) = \frac{\bar{v}}{2}.$$ $\bar{v}$$p_1$ $$\bar{v} \cdot (1 - \delta) = p_1 - \delta \cdot \frac{\bar{v}}{2},$$ поэтому Мы определили все стратегии PBE, но . Ожидаемое вознаграждение продавца: где Подставляя это мы получаем $$\bar{v} = \frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}.$$ $p_1$ $$p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot p_2(\bar{v}(p_1)) \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} - p_2(\bar{v}(p_1)) \right),$$ $$p_2(\bar{v}(p_1)) = \frac{\bar{v}(p_1)}{2} = \frac{\frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}}{2} = \frac{p_1}{2 - \delta}.$$ $$p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{p_1}{2 - \delta} \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} - \frac{p_1}{2 - \delta} \right),$$

Вы должны максимизировать это относительно . При я получил $p_1$$\delta = 0.5$

$$p_1^* = \frac{9}{20}, \hskip 20pt \bar{v} = \frac{3}{5}, \hskip 20pt p_2^* = \frac{3}{10}.$$