Модель редкого бедствия Барро (2009) в AER: Как вывести уравнение (10)?

13

В Barro (2009) Редкие бедствия, цены на активы и затраты на социальное обеспечение Barro разрабатывает модель дерева Лукаса с предпочтениями Эпштейна-Зина.

Мой вопрос касается уравнения работы (10). В этом уравнении Барро утверждает, что при оптимальном решении полезность Ut пропорциональна потреблению Ct умноженному на степень , где γ - коэффициент неприятия относительного риска, т.е.1γγ

Ut=ΦCt1γ

Хотя я понимаю логику этого результата, я не понимаю, как он получает постоянную Φ , которая показана в сноске 7 упомянутой статьи:

Альберто Джованнини и Филипп Вейль (1989, приложение) показывают, что с помощью функции полезности в уравнении (9) достигнутая полезность, Ut , пропорциональна богатству, возведенному в степень 1γ . Форма в уравнении (10) следует из-за того, что Ct оптимально выбирается как постоянное отношение к богатству в случае iid. Формула для Φ имеет вид, если γ1 θ1 ,

Φ=(11γ){ρ+(θ1)g(1/2)γ(θ1)σ2(θ1γ1)p[E(1b)1γ1(γ1)Eb]}(γ1)/(1θ)

Барро цитирует газету NBER 1989 года Джованнини и Вейля. В этой статье я могу вывести постоянную. Тем не менее, он выглядит совершенно иначе, чем версия Барро, потому что я получаю выражение, которое включает в себя , где R t - это доходность капитала. Я считаю, что Барро заменил E [ R 1 - γ t ] на равновесное решение R t . Тем не менее, его выражение не включает в себя журналы или выражения exp.E[Rt1γ]RtE[Rt1γ]Rt

Я был бы благодарен за решение или любые подсказки к решению.

drcms02
источник
Это выглядит великолепно! Спасибо за ваши усилия. Мне понадобится несколько дней, чтобы рассмотреть части 2 и 3 вашего ответа, но это выглядит очень интуитивно.
drcms02

Ответы:

3

Я думаю, что Барро означает в сноске, что Джованни и Вейль находят одно и то же уравнение, , но используя оптимальный путь C t . В работе Барро подход отличается, учитывая, что динамика C t является экзогенной: C t = Y t по предположению.Ut=ΦC1γCtCtCt=Yt

Барро использует предельный случай, когда длина периода приближается к 0. Возможно, что может беспокоить читателя, так это то, что модель определяется как дискретная.

Перепишите модель

Сначала мы можем переписать модель с длиной периода а затем использовать δ 0 . Динамика ВВП записывается как log ( Y t + δ ) = log ( Y t ) + g δ + u t + δ + v t + δ с u t + δN ( 0 , δ σ 2 ) и v t + δ знак равноδδ0

log(Yt+δ)=log(Yt)+gδ+ut+δ+vt+δ
ut+δN(0,δσ2) с вероятностью 1 - p δ и log ( 1 - b ) с вероятностью p δ . Утилита удовлетворяет U t = 1vt+δ=01pδlog(1b)pδ
Ut=11γ{Ct1θ+11+ρδ[(1γ)EtUt+δ]1θ1γ}1γ1θ.

1) Найти как функцию от E t [ ( C t + δΦEt[(Ct+δCt)1γ]

Теперь предположим, что существует такое , что U t = Φ C 1 - γ (заметим, что Φ зависит от δ априори). Определить H ( U ) = [ ( 1 - γ ) U ] 1 - θΦUt=ΦC1γΦδ , утилита удовлетворяет H( U t )= C 1 - θ t + 1H(U)=[(1γ)U]1θ1γ ПодставимUt: H(Φ)C 1 - θ t =C 1 - θ t +1

H(Ut)=Ct1θ+11+ρδH(EtUt+δ).
Ut Отсюда получаем дляCt0, 1
H(Φ)Ct1θ=Ct1θ+11+ρδH(Φ)(Et[Ct+δ1γ])1θ1γ.
Ct0
1H(Φ)=111+ρδ(Et[(Ct+δCt)1γ])1θ1γ.

2) Найти из динамики ВВПEt[(Ct+δCt)1γ]

Хитрость заключается в том, чтобы найти ожидание в правой части от динамики ВВП.

(Yt+δYt)1γ=exp((1γ)gδ).exp((1γ)ut+δ).exp((1γ)vt+δ).
ut+1vt+1
Et(Yt+δYt)1γ=exp((1γ)gδ).Etexp((1γ)ut+δ).Etexp((1γ)vt+δ).
exp(X)XN(0,σ2)exp(σ2/2)exp((1γ)vt+δ)11pδ(1b)1γpδ
Et(Yt+δYt)1γ=exp((1γ)gδ).exp((1γ)2σ2δ2).(1pδ+pE[(1b)1γ]δ).
Ct=YtΦ
1H(Φ)=111+ρδ{exp((1θ)gδ).exp((1γ)(1θ)σ2δ2).(1pδ+pE[(1b)1γ]δ)1θ1γ}.

δ0

1H(Φ)=1(1ρδ).(1+(1θ)gδ).(1+(1γ)(1θ)σ2δ2).(11θ1γpδ+1θ1γpE[(1b)1γ]δ).
δii>1
1H(Φ)=ρδ(1θ)gδ(1γ)(1θ)σ2δ2+1θ1γpδ1θ1γpE[(1b)1γ]δ.
gg=g+σ22pEb
1H(Φ)=ρδ(1θ)gδ+(1θ)σ22δ(1θ)pEbδ(1γ)(1θ)σ2δ2+1θ1γpδ1θ1γpE[(1b)1γ]δ.
δ=1H
GuiWil
источник