Есть ли способ связать теорему Берге о максимуме с теоремой Оболочки?

8

Теорема Берге утверждает

Пусть , - совместно непрерывная функция, - непрерывная (оба верхнее и нижнее полунепрерывное) компактное соответствие. Функция максимизируемого значения и максимизатор имеют вид V (\ theta): = \ max_ {x \ in X} f (x, \ theta) C ^ \ ast (\ theta): = \ {x \ in C (\ theta) \ mid f (x, \ theta) = V (\ theta) \} Тогда V: \ Theta \ to \ mathbb R непрерывен и C ^ \ ast: \ Theta \ rightrightarrows X равен верхняя полунепрерывная.XRm,ΘRnf:X×ΘRC:ΘX

V(θ):=maxxXf(x,θ)
C(θ):={xC(θ)f(x,θ)=V(θ)}
V:ΘRC:ΘX

Согласно «Экономическому анализу Вариана» (1992), стр. 490, теорема об огибающей просто:

dM(a)da=f(x,a)ax=x(a)

x(a) - максимизатор f(,a) .

Мне кажется, теорема об огибающей влечет за собой теорему Берге, но вывод выглядит гораздо проще. Есть ли отношения между ними?

Эпикур
источник
Не похоже, что они заняты одной и той же целью. Берге устанавливает свойства функции значения и множества максимизаторов. Конверт посвящен тому, чтобы показать, каков эффект изменения параметра ... возможно, вы могли бы уточнить, какая связь между этими двумя интересует вас.
Алекос Пападопулос
@AlecosPapadopoulos Извиняюсь за неопределенность моего вопроса. Теперь я узнал, что этот квест возник из моей смутной памяти о предложении 2 в Лукасе (1978). Теперь я могу сформулировать это более точно. Какие условия на функцию полезности и ограничение позволяют нам применять теорему об огибающей только после того, как мы установили непрерывность функции значения по теореме Берге? people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf
Эпикур
Я не думаю, что вам обязательно нужно «установить непрерывность функции значения», чтобы использовать теорему об огибающей. Кажется, ключевая часть - это вопрос о контроле . См. Теорему 2 на странице Википедии. Там непрерывность V является результатом. В любом случае на странице Википедии полностью изложены теоремы. Он скажет вам, что вы должны предположить, чтобы использовать теорему. en.wikipedia.org/wiki/Envelope_theoremC
jmbejara

Ответы:

6

Они связаны и обычно попадают в одно и то же обсуждение, но, как упоминает @Alecos в комментариях, две теоремы показывают разные вещи.

Я предполагаю, что связь, которую вы ищете, заключается в том, что если существует производная , тогда, поскольку дифференцируемость подразумевает непрерывность, вы можете получить часть теоремы о максимуме из нее. Однако, чтобы сравнить и сопоставить две теоремы, вы не должны просто смотреть на результаты. Вы должны также посмотреть на предположения. Например, теорема о максимуме не предполагает какой-либо дифференцируемости. Теорема об оболочке делает (по крайней мере, некоторые ее формы). В любом случае допущения, входящие в каждый из них, различны (некоторые сильнее, некоторые слабее).

f(x,a)a|x=x(a)

Также есть это. Теорема об огибающей ничего не говорит о функции управления. Следовательно, вы определенно не сможете получить результат, что является полунепрерывным сверху.C

jmbejara
источник
4

Цитирование ОП из комментария

Какие условия на функцию полезности и ограничение позволяют нам применять теорему об огибающей только после того, как мы установили непрерывность функции значения по теореме Берге? people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf

В упомянутой статье Лукаса (1978) предложение 1 устанавливает, что

введите описание изображения здесь

где - функция значения, а - ее определение. Таким образом, представляется, что именно непрерывность функции Price выделена здесь как условие, но ранее в статье Лукас определяет функцию Utility как неотрицательную функцию, котораяv(z,y;p)(i)

непрерывно дифференцируемый, ограниченный, увеличивающийся и строго вогнутый

Предложение 2 статьи устанавливает дифференцируемость функции стоимости, не требуя дополнительных предположений.

Алекос Пападопулос
источник