Есть ли способ связать теорему Берге о максимуме с теоремой Оболочки?

Теорема Берге утверждает

Пусть , - совместно непрерывная функция, - непрерывная (оба верхнее и нижнее полунепрерывное) компактное соответствие. Функция максимизируемого значения и максимизатор имеют вид V (\ theta): = \ max_ {x \ in X} f (x, \ theta) C ^ \ ast (\ theta): = \ {x \ in C (\ theta) \ mid f (x, \ theta) = V (\ theta) \} Тогда V: \ Theta \ to \ mathbb R непрерывен и C ^ \ ast: \ Theta \ rightrightarrows X равен верхняя полунепрерывная.$X \in \mathbb R^m, \Theta \in \mathbb R^n$$f : X \times \Theta \to \mathbb R$$C : \Theta \rightrightarrows X$

$$V(\theta) := \max_{x \in X}f(x, \theta)$$ $$C^\ast(\theta):=\{x \in C(\theta) \mid f(x, \theta )=V(\theta)\}$$ $V : \Theta \to \mathbb R$$C^\ast :\Theta \rightrightarrows X$

Согласно «Экономическому анализу Вариана» (1992), стр. 490, теорема об огибающей просто:

$$\frac{dM(a)}{da}=\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}\mid_{x=x(a)}$$

$x(a)$ - максимизатор $f(\cdot, a)$ .

Мне кажется, теорема об огибающей влечет за собой теорему Берге, но вывод выглядит гораздо проще. Есть ли отношения между ними?

Они связаны и обычно попадают в одно и то же обсуждение, но, как упоминает @Alecos в комментариях, две теоремы показывают разные вещи.

Я предполагаю, что связь, которую вы ищете, заключается в том, что если существует производная , тогда, поскольку дифференцируемость подразумевает непрерывность, вы можете получить часть теоремы о максимуме из нее. Однако, чтобы сравнить и сопоставить две теоремы, вы не должны просто смотреть на результаты. Вы должны также посмотреть на предположения. Например, теорема о максимуме не предполагает какой-либо дифференцируемости. Теорема об оболочке делает (по крайней мере, некоторые ее формы). В любом случае допущения, входящие в каждый из них, различны (некоторые сильнее, некоторые слабее).

Также есть это. Теорема об огибающей ничего не говорит о функции управления. Следовательно, вы определенно не сможете получить результат, что является полунепрерывным сверху.$C^*$

Цитирование ОП из комментария

Какие условия на функцию полезности и ограничение позволяют нам применять теорему об огибающей только после того, как мы установили непрерывность функции значения по теореме Берге? people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf

В упомянутой статье Лукаса (1978) предложение 1 устанавливает, что

где - функция значения, а - ее определение. Таким образом, представляется, что именно непрерывность функции Price выделена здесь как условие, но ранее в статье Лукас определяет функцию Utility как неотрицательную функцию, которая$v(z,y;p)$$(i)$

непрерывно дифференцируемый, ограниченный, увеличивающийся и строго вогнутый

Предложение 2 статьи устанавливает дифференцируемость функции стоимости, не требуя дополнительных предположений.