Может ли кто-нибудь уточнить понятие «сумма случайных величин»

В моем классе вероятностей постоянно используются термины «суммы случайных величин». Тем не менее, я застрял на том, что именно это означает?

Мы говорим о сумме связок реализаций от случайной величины? Если это так, разве это не означает, что это одно число? Как сумма реализаций случайных величин приводит нас к распределению или к функции cdf / pdf / любого рода? И если это не случайные реализации переменных, то что именно добавляется?

Физическая, интуитивно понятная модель случайной величины состоит в том, чтобы записать имя каждого члена населения на одном или нескольких листах бумаги - «билеты» - и поместить эти билеты в коробку. Процесс тщательного перемешивания содержимого коробки с последующим слепым извлечением одного билета - точно так же, как в лотерее - моделирует случайность. Неоднородные вероятности моделируются путем введения в поле переменного количества заявок: больше билетов для более вероятных участников, меньше для менее вероятных.

Случайная величина представляет собой число , связанное с каждым членом населения. (Поэтому для согласованности на каждом билете для данного участника должно быть написано одно и то же число.) Несколько случайных величин моделируются путем резервирования пробелов в билетах для более чем одного номера. Мы обычно дают эти пространства имен , как и . Сумма этих случайных величин обычная сумма: Оставляем новое пространство на каждом билете на сумму, считывать значения и т.д. на каждом билете, и написать их сумму в этом новом пространстве. Это последовательный способ записи чисел на билетах, так что это еще одна случайная величина.$X,$ $Y,$$Z$$X,$ $Y,$

Эта фигура изображает окно , представляющий популяцию и три случайные величины , и . Он содержит шесть билетов: три для (синий) дают ему вероятность , два для (желтый) дают ему вероятность , а один для (зеленый) дает ему вероятность . Для того, чтобы отобразить то, что написано на билетах, они показываются перед смешиванием.$\Omega=\{\alpha,\beta,\gamma\}$$X$$Y$$X+Y$$\alpha$$3/6$$\beta$$2/6$$\gamma$$1/6$

Прелесть этого подхода в том, что все парадоксальные части вопроса оказываются правильными:

• сумма случайных величин действительно является одним определенным числом (для каждого члена населения),

• все же это также приводит к распределению (заданному частотами, с которыми сумма появляется в поле), и

• это все еще эффективно моделирует случайный процесс (потому что билеты все еще выбраны вслепую из коробки).

Таким образом, сумма может одновременно иметь определенное значение (заданное правилами сложения применительно к номерам на каждом из билетов), в то время как реализация - которая будет представлять собой билет, извлеченный из коробки - не будет иметь значения до это выполняется.

Эта физическая модель извлечения билетов из коробки принята в теоретической литературе и строго определена с определениями выборочного пространства (совокупности), сигма-алгебр (с соответствующими им вероятностными мерами) и случайных величин в качестве измеримых функций, определенных на выборочном пространстве. ,

Это описание случайных величин разработано на реалистичных примерах в разделе «Что означает случайная величина?» ,

за этой фразой нет никакого секрета, она настолько проста, насколько вы можете подумать: если X и Y - две случайные величины, их сумма равна X + Y, и эта сумма также является случайной величиной. Если X_1, X_2, X_3, ..., X_n и являются n случайными переменными, их сумма равна X_1 + X_2 + X_3 + ... + X_n, и эта сумма также является случайной величиной (и реализация этой суммы является одиночной число, а именно сумма n реализаций).

Почему вы так много говорите о суммах случайных величин в классе? Одной из причин является (удивительная) центральная предельная теорема: если мы сложим много независимых случайных величин, то мы сможем «предсказать» распределение этой суммы (почти) независимо от распределения отдельных переменных в сумме! Сумма имеет тенденцию становиться нормальным распределением, и это - вероятная причина, почему мы наблюдаем нормальное распределение так часто в реальном мире.

rv - это отношение между возникновением события и действительным числом. Скажем, если идет дождь, значение X равно 1, если нет, то 0. У вас может быть другой rv Y, равный 10, когда холодно, и 100, когда жарко. Итак, если идет дождь и холодно, то X = 1, Y = 10 и X + Y = 11.

Значения X + Y равны 10 (не холодно); 11 (дождь, холодно), 100 (не дождь, жарко) и 110 (дождь, жарко). Если вы выясните наши вероятности событий, вы получите PMF этого нового rv X + Y.

$X,Y$$X+Y$$\Omega_1\times \Omega_2$$X,Y$$\Omega=\{Head,Tail\}$$X(Head)=Y(Head)=1, X(Tail)=Y(Tail)=0$$(X+Y)$$X,Y$$\sigma-$$X,Y$