Каково соотношение равномерного и нормального распределения?

11

Пусть следует равномерному распределению, а - нормальному распределению. Что можно сказать о ? Есть ли для этого дистрибутив?Y XXYXY

Я нашел соотношение двух нормалей со средним нулем Коши.

RRPP
источник
3
Для чего это стоит, распределение Y/X называется распределением слэша . Я не знаю, имеет ли ответное имя имя или закрытую форму.
Дэвид Дж. Харрис
2
И больший класс, к которому принадлежат оба, - это, вероятно, пропорционные распределения !
Ник Стаунер
7
@ DavidJ.Harris Совершенно верно; +1. Я видел, как косая черта использовалась несколько раз в исследованиях устойчивости. Возможно, X/Y - как перевернутая косая черта - следует назвать « распределением обратной косой черты ».
Glen_b
1
@rrpp Вы имеете в виду стандартный , или вообще U п я е о р м ( , б ) ? Если последнее, то нам нужно знать, если a > 0 , a < 0 и т. Д.Uniform(0,1)Uniform(a,b)a>0a<0
wolfies
1
Спасибо всем за ваши ответы. @wolfies - это U n i f o r m ( 0 , 1 ), а Y имеет положительное среднее значениеXUniform(0,1)Y
rrpp

Ответы:

13

Пусть случайная величина с pdf f ( x ) :XUniform(a,b)f(x)

введите описание изображения здесь

где я предположил (это гнездо стандартного случая Uniform ( 0 , 1 ) ). [Различные результаты будут получены, если, скажем, параметр a < 0 , но процедура точно такая же. ]0<a<bUniform(0,1)a<0

Далее, пусть и W = 1 / Y с pdf g ( w ) :YN(μ,σ2)W=1/Yg(w)

введите описание изображения здесь

Затем мы ищем pdf произведения , скажем, h ( v ) , которое определяется как:V=XWh(v)

введите описание изображения здесь

где я использую mathStatica «s TransformProductфункцию для автоматизации сурового gritties, и где Erfобозначает функцию ошибки: http://reference.wolfram.com/language/ref/Erf.html

Все сделано.

Сюжеты

Вот два сюжета PDF:

  • График 1: , σ = 1 , b = 3 ... и ... a = 0 , 1 , 2μ=0σ=1b=3a=0,1,2

введите описание изображения здесь

  • Участок 2: ,σ=1,a=0,b=1μ=0,12,1σзнак равно1aзнак равно0бзнак равно1

введите описание изображения здесь

Монте-Карло чек

Вот краткая проверка Монте-Карло для случая Plot 2, просто чтобы убедиться, что ошибки не возникли:
,σ=1,а=0,b=1μзнак равно12σзнак равно1aзнак равно0бзнак равно1

введите описание изображения здесь

Синяя линия - это эмпирический PDF-файл Монте-Карло, а красная пунктирная линия - это теоретический PDF-файл выше. Выглядит хорошо :)час(v)

wolfies
источник
3

Можно найти распределение из первых принципов, гдеXU[0,1]иYN(μ,σ2). Рассмотрим кумулятивную функцию вероятностиZ:Zзнак равноИксYИкс~U[0,1]Y~N(μ,σ2)Z

FZ(Z)знак равноп(ZZ)знак равноп(ИксYZ)

Рассмотрим два случая и Y < 0 . Если Y > 0 , то XY>0Y<0Y>0 . Аналогично, если Y < 0, то XИксYZИксZYY<0 .ИксYZИксZY

-<Z<Z>0Z<0

Z>0(Икс,Y)

Регион интеграции

FZ(Z)знак равно01Икс/ZеY(Y)dYdИкс+01-0еY(Y)dYdИкс
еY(Y)Y

Z

еZ(Z)знак равноddZ01[FY()-FY(ИксZ)]dИксзнак равно01Z[FY()-FY(ИксZ)]dИксзнак равно01ИксZ2еY(ИксZ)dИксзнак равно01Икс2πσZ2ехр(-(ИксZ-μ)22σ2)dИкс

Вышеупомянутый интеграл можно оценить, используя следующую последовательность преобразований:

  1. Uзнак равноИксZ
  2. vзнак равноU-μ
  3. vv

еZ(Z)знак равноσ2π[ехр(-μ22σ2)-ехр(-(1Z-μ)22σ2)]+μ[Φ(1Z-μσ)-Φ(-μσ)]

Φ(Икс)Z<0

Этот ответ может быть проверен путем моделирования. Следующий скрипт в R выполняет эту задачу.

n <- 1e7
mu <- 2
sigma <- 4

X <- runif(n)
Y <- rnorm(n, mean=mu, sd=sigma)

Z <- X/Y
# Constrain range of Z to allow better visualization 
Z <- Z[Z>-10]
Z <- Z[Z<10] 

# The actual density 
hist(Z, breaks=1000, xlim=c(-10,10), prob=TRUE)

# The theoretical density
r <- seq(from=-10, to=10, by=0.01)
p <- sigma/sqrt(2*pi)*( exp( -mu^2/(2*sigma^2)) - exp(-(1/r-mu)^2/(2*sigma^2)) ) + mu*( pnorm((1/r-mu)/sigma) - pnorm(-mu/sigma) )

lines(r,p, col="red")

Вот несколько графиков для проверки:

  1. Y~N(0,1) Проверьте 1
  2. Y~N(1,1) Проверьте 2
  3. Y~N(1,2) Проверьте 3

Zзнак равно0

Comp_Warrior
источник
1
+1 Очень мило! Вывод из основных принципов всегда удовлетворителен, а графика помогает читателю сразу понять, что вы делаете.
whuber
2


YYзнак равноN(7,1)мин(Y)>1N1MY<1ИксYY<0set.seed(1);x=rbeta(10000000,1,1)/rnorm(10000000,7);hist(x,n=length(x)/50000)
runif

введите описание изображения здесь

Ник Стаунер
источник
2
крайние хвосты портят плотность. Распределение скорее похоже на Коши. (Из любопытства, почему бы не использовать runif? Это кажется более идиоматичным и, кажется, также быстрее)
Glen_b
Потому что я все еще не так много знаю о R, очевидно! :) Спасибо за чаевые!
Ник Стаунер
1
без проблем. Разница в скорости не так велика, но с 10 ^ 7 элементами достаточно заметить. Вы можете найти гистограмму, на которую стоит обратить внимание ( hist(x,n=length(x),xlim=c(-10,10))) (около 96% распределения, похоже, находится в этих пределах)
Glen_b -Reinstate Monica
1
Вау! Конечно же Боюсь, эти графики плотности вводят в заблуждение! Я отредактирую эту гистограмму ...
Ник Стаунер,
1
Ох, ну ладно. Без проблем. Вы можете сделать nclass намного меньше в этом случае. Я думаю, что в идеале полосы должны быть очень узкими, а не просто черными линиями.
Glen_b