Конвергенция в распределении \ CLT

Учитывая, что , условный дистр. из есть . имеет маргинальный дистр. Пуассона ( ), - положительная постоянная.Y χ 2 ( 2 n ) N θ $N = n$$Y$$\chi ^2(2n)$$N$$\theta$$\theta$

Покажите, что как , в распределении.( Y - E ( Y ) ) / $\theta \rightarrow \infty$$\space \space (Y - E(Y))/ \sqrt{\operatorname{Var}(Y)} \rightarrow N(0,1)$

Может ли кто-нибудь предложить стратегии для решения этой проблемы. Кажется, нам нужно использовать CLT (Центральная предельная теорема), но сложно получить какую-либо информацию о самостоятельно. Можно ли ввести rv, чтобы взять образец, чтобы сгенерировать ?$Y$$Y$

Это домашнее задание, поэтому намеки приветствуются.

Я предоставляю решение, основанное на свойствах характеристических функций, которые определяются следующим образом: Мы знаем, что распределение однозначно определяется характеристической функцией, поэтому я докажу, что ψ ( Y - E Y ) /

$$\psi_X(t)=E\exp{(itX)}.$$ и из этого следует искомая сходимость. $$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}\rightarrow \psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty,$$

Для этого мне нужно будет рассчитать среднее значение и дисперсию , для которой я использую закон общих ожиданий / дисперсии - http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_expectation . E Y = E { E ( Y | N ) } = E { 2 N } = 2 θ V a r ( Y ) = E { V a r ( Y | N ) } + V a r $Y$

$$EY=E\{E(Y|N)\}=E\{2N\}=2\theta$$ ячто среднее значение и дисперсия распределения Пуассона являются Е Н = V a r ( N ) = θ, а среднее и дисперсия χ 2 2 n являются $$Var(Y)=E\{Var(Y|N)\}+Var\{E(Y|N)\}=E\{4N\}+Var(2N)=4\theta+4Var(N)=8\theta$$ $EN=Var(N)=\theta$$\chi^2_{2n}$ и V a r ( Y | N = n ) = 4 n . Теперь приходит исчисление с характерными функциями. Сначала я переписываю определение Y как Y = ∞ ∑ n = 1 Z 2 n I [ N = n ] ,  где  Z 2 n ∼ χ 2 2 $E(Y|N=n)=2n$$Var(Y|N=n)=4n$$Y$ $$Y=\sum_{n=1}^{\infty}Z_{2n}I_{[N=n]}, \text{ where } Z_{2n}\sim \chi^2_{2n}$$ Теперь я использую теорему, которая утверждает, что . Характеристическая функция χ 2 2 n равна ψ Z 2 n ( t ) = ( 1 - 2 i t ) - n , отсюда взято: $$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)$$ $\chi^2_{2n}$$\psi_{Z_{2n}(t)}=(1-2it)^{-n}$http://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_function_(probability_theory)

$Y$$\exp(x)$

$$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)=\sum_{n=1}^{\infty}(1-2it)^{-n}\frac{\theta^n}{n!}\exp{(-\theta)}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\theta}{(1-2it)}\right)^n\frac{1}{n!}\exp{(-\theta)}=\exp(\frac{\theta}{1-2it})\exp(-\theta)=\exp(\frac{2it\theta}{1-2it})$$ $$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}(t)=\exp(-i\frac{EY}{\sqrt{VarY}})\psi_Y(t/\sqrt{VarY})= \\\exp(-\frac{t^2}{2})\exp{(-1+2i\frac{t}{\sqrt{8\theta}})}\rightarrow \exp(-\frac{t^2}{2})=\psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty$$

Это может быть продемонстрировано через связь с нецентральным распределением по Чискуару. Есть хорошая статья в Википедии, на которую я буду ссылаться свободно! https://en.wikipedia.org/wiki/Noncentral_chi-squared_distribution

$Y|N=n$$2 n$$n=0,1,\dots, \infty$$N$$\theta$

$Y$

$$f_Y(y; 0, \theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i}}(y)$$ $k=0$

$$f_Y(y; k,\theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i+k}}(y)$$ $k$$2\theta$$k \rightarrow 0$$\theta \rightarrow \infty$$\theta \rightarrow \infty$$N=0$ стремится к нулю, так что точка массы в нуле исчезает (переменная чисел в квадрате с нулевыми степенями свободы должна интерпретироваться как точка массы в нуле, поэтому не имеют функции плотности).

$k$$k$$k$