Конвергенция в распределении \ CLT

9

Учитывая, что , условный дистр. из есть . имеет маргинальный дистр. Пуассона ( ), - положительная постоянная.Y χ 2 ( 2 n ) N θ θNзнак равноNYχ2(2N)Nθθ

Покажите, что как , в распределении.( Y - E ( Y ) ) / θ  (Y-Е(Y))/Var(Y)N(0,1)

Может ли кто-нибудь предложить стратегии для решения этой проблемы. Кажется, нам нужно использовать CLT (Центральная предельная теорема), но сложно получить какую-либо информацию о самостоятельно. Можно ли ввести rv, чтобы взять образец, чтобы сгенерировать ?YYY

Это домашнее задание, поэтому намеки приветствуются.

user42102
источник
Выглядит как вещь для меня тоже. Может быть, это уже очевидно для вас, но как theta-> Infinity, что происходит с N?
PeterR
Должен ли я смотреть на распределение N? Если я поиграюсь с этим, похоже, что его pdf всегда будет 0. Что я могу из этого сделать?
user42102
что означает среднее значение пуассоновской (тета) случайной величины?
PeterR
Я перепутал N в этом вопросе и размер выборки n в определении CLT. Итак, . Итак, мы видим, что ожидаемое значение N приближается к бесконечности. Я не уверен, куда идти отсюда, хотя. E(N)=θ
user42102
1
Вы должны посмотреть на нецентральное распределение хи-квадрат. Доказать, что лимит нормальный, будет сложнее, чем простое применение CLT, хотя я боюсь.
Caburke

Ответы:

3

Я предоставляю решение, основанное на свойствах характеристических функций, которые определяются следующим образом: Мы знаем, что распределение однозначно определяется характеристической функцией, поэтому я докажу, что ψ ( Y - E Y ) /

ψИкс(T)знак равноЕехр(яTИкс),
и из этого следует искомая сходимость.
ψ(Y-ЕY)/Вaр(Y)ψN(0,1)(T), когда θ,

Для этого мне нужно будет рассчитать среднее значение и дисперсию , для которой я использую закон общих ожиданий / дисперсии - http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_expectation . E Y = E { E ( Y | N ) } = E { 2 N } = 2 θ V a r ( Y ) = E { V a r ( Y | N ) } + V a r {Y

ЕYзнак равноЕ{Е(Y|N)}знак равноЕ{2N}знак равно2θ
ячто среднее значение и дисперсия распределения Пуассона являются Е Н = V a r ( N ) = θ, а среднее и дисперсия χ 2 2 n являются E
Вaр(Y)знак равноЕ{Вaр(Y|N)}+Вaр{Е(Y|N)}знак равноЕ{4N}+Вaр(2N)знак равно4θ+4Вaр(N)знак равно8θ
ЕNзнак равноВaр(N)знак равноθχ2N2 и V a r ( Y | N = n ) = 4 n . Теперь приходит исчисление с характерными функциями. Сначала я переписываю определение Y как Y = n = 1 Z 2 n I [ N = n ] ,  где  Z 2 nχ 2 2 nЕ(Y|Nзнак равноN)знак равно2NВaр(Y|Nзнак равноN)знак равно4NY
Yзнак равноΣNзнак равно1Z2Nя[Nзнак равноN], где Z2N~χ2N2
Теперь я использую теорему, которая утверждает, что . Характеристическая функция χ 2 2 n равна ψ Z 2 n ( t ) = ( 1 - 2 i t ) - n , отсюда взято:
ψY(T)знак равноΣNзнак равно1ψZ2N(T)п(Nзнак равноN)
χ2N2ψZ2N(T)знак равно(1-2яT)-Nhttp://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_function_(probability_theory)

Yехр(Икс)

ψY(T)знак равноΣNзнак равно1ψZ2N(T)п(Nзнак равноN)знак равноΣNзнак равно1(1-2яT)-NθNN!ехр(-θ)знак равноΣNзнак равно1(θ(1-2яT))N1N!ехр(-θ)знак равноехр(θ1-2яT)ехр(-θ)знак равноехр(2яTθ1-2яT)
ψ(Y-ЕY)/Вaр(Y)(T)знак равноехр(-яЕYВaрY)ψY(T/ВaрY)знак равноехр(-T22)ехр(-1+2яT8θ)ехр(-T22)знак равноψN(0,1)(T), когда θ
Фимба
источник
1

Это может быть продемонстрировано через связь с нецентральным распределением по Чискуару. Есть хорошая статья в Википедии, на которую я буду ссылаться свободно! https://en.wikipedia.org/wiki/Noncentral_chi-squared_distribution

Y|Nзнак равноN2NNзнак равно0,1,...,Nθ

Y

еY(Y;0,θ)знак равноΣязнак равно0е-θθяя!еχ22я(Y)
Кзнак равно0

еY(Y;К,θ)знак равноΣязнак равно0е-θθяя!еχ22я+К(Y)
К2θК0θθNзнак равно0 стремится к нулю, так что точка массы в нуле исчезает (переменная чисел в квадрате с нулевыми степенями свободы должна интерпретироваться как точка массы в нуле, поэтому не имеют функции плотности).

ККК

Къетил б Халворсен
источник