Это вопрос, проистекающий из реальной ситуации, для которой я был искренне озадачен ее ответом.
Мой сын должен начать начальную школу в Лондоне. Поскольку мы итальянцы, мне было любопытно узнать, сколько итальянских детей уже посещают школу. Я попросил об этом сотрудника приемной комиссии при подаче заявления, и она сказала мне, что в среднем у них по 2 итальянских ребенка в классе (из 30).
Сейчас я нахожусь в момент, когда я знаю, что мой ребенок был принят, но у меня нет никакой другой информации о других детях. Критерии приема основаны на расстоянии, но для целей этого вопроса, я полагаю, мы могли бы предположить, что он основан на случайном распределении из большой выборки кандидатов.
Сколько итальянских детей ожидается в классе моего сына? Это будет ближе к 2 или 3?
источник
Ответы:
Как всегда, вам нужно рассмотреть вероятностную модель, которая описывает, как школа распределяет детей по классам. Возможности:
Все это разумно. Учитывая стратегию 2, ответ на ваш вопрос - нет. Когда они используют стратегию 3, ожидание будет близко к 3, но немного меньше. Это потому, что ваш сын занимает «место», и у вас есть еще один шанс для случайного итальянца.
Когда школа использует стратегию 1, ожидания также возрастают; сколько зависит от количества иностранных граждан в классе.
Не зная вашей школы, невозможно ответить на этот вопрос более идеально. Если у вас есть только один урок в год и критерии приема такие же, как описано, ответ будет таким же, как и для 3 выше.
Расчет на 3 в деталях:
X - количество итальянских детей в классе. 1 - от известного ребенка, 29 - остальные ученики, а 2/30 - вероятность того, что неизвестный ребенок будет итальянцем, учитывая то, что говорит школа. B - биномиальное распределение.
Обратите внимание, что начало с не дает правильного ответа, поскольку знание того, что конкретный ребенок итальянец, нарушает взаимозаменяемость, предполагаемую биномиальным распределением. Сравните это с парадоксом мальчика или девочки , где важно, знаете ли вы, что один ребенок - девочка, а не то, что старший ребенок - девочка.E(X|X≥1)
источник
Еще один способ взглянуть на это на уровне отдельных детей. Если предположить , что 30 детей нарисованных случайным образом из популяции (которые вы указали , мы можем), мы можем работать в обратном направлении к грубой вероятности итальянского ребенка втягивается из этой группы населения: = 1 / 15 .2/30 1/15
Учитывая, что мы знаем, что один из 30 - итальянский, нам нужно только вычислить вероятность для оставшихся детей:
Таким образом, знание того, что ваш ребенок итальянец, меняет ожидаемое число итальянских детей в классе примерно до 2,933, что намного ближе к 3, чем к 2.
источник
Вот мои мысли о том, как подойти к этому:
Пусть случайная величина обозначает количество итальянских детей в классе, который в настоящее время имеет размер n . Пусть X будет показателем того, что новый ребенок - итальянец. Предположим, что мы добавили дочерний элемент X в этот класс. Тогда ожидаемое число итальянских детей в этом расширенном классе размера n + 1 будет E ( S n + X ) = E ( S n ) + E ( X ) = E ( S n ) + P (Sn n X X n+1 . Обратите внимание, что независимость здесь не имеет значения, поскольку мы используем только линейность ожидания. Если известно, что ребенок X итальянский, то X = 1 с вероятностью 1, поэтому мы увеличили ожидаемое значение на 1.E(Sn+X)=E(Sn)+E(X)=E(Sn)+P(X=1) X X=1
источник
На основании информации Admission офиса, число итальянских детей следует биномиальному , предполагающей независимость. Теперь вы знаете, что в вашем классе есть по крайней мере один итальянский ребенок, поэтому ожидание становится E ( X | X ≥ 1 ) . Для X ~ B я п о м ( 30 , 2 / 30 ) , это имеет значение 2,28 (если я получу расчет право).Binom(30,2/30) E(X|X≥1) X∼Binom(30,2/30) 2.28
(обратите внимание на изменение нижней границы суммирования на последнем шаге)
источник
Нет. Ваше знание о предстоящих событиях ничего не меняет в типичном опыте школы.
источник