Интуиция за функцией плотности t-распределений

12

Я изучаю t-распределение Стьюдента, и я начал задаваться вопросом, как можно получить функцию плотности t-распределений (из Википедии, http://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-distribution ):

f(t)=Γ(v+12)vπΓ(v2)(1+t2v)v+12

где - степени свободы, а Γ - гамма-функция. Какова интуиция этой функции? Я имею в виду, если я посмотрю на функцию массы вероятности биномиального распределения, это имеет смысл для меня. Но функция плотности t-распределений вообще не имеет смысла для меня ... она не интуитивна на первый взгляд. Или интуиция только в том, что она имеет колоколообразную кривую и служит нашим потребностям?vΓ

Спасибо за любую помощь :)

jjepsuomi
источник
3
Это распределение имеет простую (и довольно) геометрическую интерпретацию. Действительно, хотя Student (1908) впервые получил эту форму PDF с помощью интеллектуального предположения (поддерживаемого моделированием Монте-Карло), Fisher (c. 1920) впервые получил его с геометрическим аргументом. Суть в том, что описывает распределение отношения высоты (равномерно распределенной точки) к сфере ν + 1 и ее радиуса (расстояния от оси): другими словами, касательной ее широты. Один отчет об этом предоставляется по адресу evolvedmicrobe.com/Literature/GeometricTDistribution.pdf . fν+1
whuber

Ответы:

9

Если у вас есть стандартная нормальная случайная величина и независимая случайная величина Q хи-квадрат с ν df, тоZQν

T=Z/Q/ν

имеет распределение с ν df. (Я не уверен , что Z / Q распределяется, но это не т .)tνZ/Qt

Фактический вывод является довольно стандартным результатом. Алекос делает это несколькими способами здесь .

ν

введите описание изображения здесь

Q/νtZQ/νtZtZ

tQ/νt

введите описание изображения здесь

(«относительно более пиковый» приводит к чуть более острому пику относительно спреда, но большая дисперсия тянет центр вниз, что означает, что пик немного ниже при меньшем df)

t

Glen_b - Восстановить Монику
источник
1
Я был немного неряшлив в своем объяснении. Конечно, это был квадратный корень распределенной случайной величины хи-квадрат, деленной на степени свободы.
аналитик
@ Аналитик Я сам делал то же самое, не раз.
Glen_b
9

Ответ Глена правильный, но с байесовской точки зрения также полезно думать о t-распределении как о непрерывной смеси нормальных распределений с различными дисперсиями. Вы можете найти вывод здесь:

Студент т как смесь гауссов

Я чувствую, что этот подход помогает вашей интуиции, потому что он проясняет, как возникает t-распределение, когда вы не знаете точную изменчивость вашего населения.

Erik
источник
2
Я сделал анимацию t-распределения как смесь нормальных распределений здесь: sumsar.net/blog/2013/12/t-as-a-mixture-of-normals
Rasmus Bååth