Я нахожусь во вводном классе статистики, в котором функция плотности вероятности для непрерывных случайных величин была определена как . Я понимаю, что интеграл от но я не могу исправить это своей интуицией непрерывной случайной величины. Скажем, X является случайной величиной, равной количеству минут от времени t, когда поезд прибывает. Как рассчитать вероятность того, что поезд прибудет ровно через 5 минут? Как эта вероятность может быть нулевой? Разве это не возможно? Что делать , если поезд делает прибыть ровно 5 минут с этого времени, как это могло произойти , если она была вероятность 0?a ∫ a f ( x ) d x = 0
Спасибо.
probability
random-variable
pdf
continuous-data
geofflittle
источник
источник
Ответы:
Вы можете оказаться в ловушке, считая, что «пять минут спустя» будут длиться некоторый конечный период времени (который будет иметь ненулевую вероятность).
«Через пять минут» в смысле непрерывной переменной действительно мгновенно.
Представьте, что прибытие следующего поезда равномерно распределено между 8:00 и 8:15. Далее представьте, что мы определяем прибытие поезда как происходящее в тот момент, когда передняя часть поезда проходит определенную точку на станции (возможно, среднюю точку платформы, если нет лучшего ориентира). Рассмотрим следующую последовательность вероятностей:
а) вероятность того, что поезд прибудет между 8:05 и 8:10
б) вероятность того, что поезд прибудет между 8:05 и 8:06
в) вероятность того, что поезд прибудет между 8:05:00 и 8:05:01
d) вероятность того, что поезд прибудет между 8:05:00 и 8: 05: 00.01 (то есть с интервалом в одну сотую секунды
e) вероятность того, что поезд прибудет между 8:05 и одной миллиардной секунды позже
f) вероятность того, что поезд прибудет между 8:05 и одной квадриллионной секундой позже
... и так далее
Вероятность того, что он прибудет точно в 8:05, является предельным значением последовательности вероятностей, подобной этой. Вероятность меньше, чем каждый .ϵ>0
источник
Вероятностное утверждение не является утверждением о возможности / осуществимости события. Это только отражает нашу попытку количественно оценить нашу неуверенность в том, что это происходит. Таким образом, когда явление является непрерывным (или моделируется как единое целое), тогда наши инструменты и текущее состояние знаний не позволяют нам делать вероятностное утверждение о том, что оно принимает определенную ценность . Мы можем только сделать такое заявление, связанное с диапазономценностей. Конечно, обычная уловка здесь состоит в том, чтобы дискретизировать поддержку, рассматривать «маленькие» интервалы значений, а не отдельные значения. Поскольку непрерывные случайные величины приносят большую пользу и гибкость по сравнению с дискретными случайными переменными, оказалось, что это довольно небольшая цена, возможно, такая же малая, как интервалы, которые мы вынуждены учитывать.
источник
Чтобы дать вам некоторое представление об этом, попробуйте следующий (мысленный) эксперимент:
Нарисуйте реальную линию вокруг нуля с помощью линейки. Теперь возьмите острый дротик и дайте ему случайным образом упасть сверху на линию (предположим, что вы всегда попадете на линию, и только аргумент в пользу бокового положения имеет значение).
Сколько бы раз вы ни позволили дротику случайно упасть на линию, вы никогда не достигнете нулевой точки. Зачем? Подумайте, что такое точка ноль, подумайте, какова его ширина. И после того, как вы узнаете, что его ширина равна 0, вы все еще думаете, что можете поразить его?
Сможете ли вы достичь точки 1 или -2? Или какой-либо другой пункт, который вы выбрали в этом отношении?
Чтобы вернуться к математике, это разница между физическим миром и математическим понятием, таким как действительные числа (представленные в моем примере реальной линией). Теория вероятностей имеет более сложное определение вероятности, чем вы увидите в своей лекции. Чтобы количественно оценить вероятность событий и любую комбинацию их результатов, вам нужна мера вероятности. И мера Бореля и мера Лебега определены для интервала [а, Ь] на вещественной прямой , как: из этого определения вы можете увидеть , что происходит с вероятностью , если уменьшить интервал на номер (настройка a = b).
Суть в том, что, исходя из нашего текущего определения теории вероятностей (начиная с Колмогорова), тот факт, что событие имеет 0 вероятностей, не означает, что оно не может произойти.
И что касается вашего примера с поездом, если у вас будут бесконечно точные часы, ваш поезд никогда не прибудет точно вовремя.
источник
Распределение вероятностей должно иметь область единства. Если мера непрерывна, то она может принимать бесконечное число значений (т. Е. Бесконечное число значений вдоль оси x распределения). Единственный способ, которым общая площадь распределения вероятности может быть конечной, состоит в том, чтобы значение в каждом из бесконечного числа значений было равно нулю. Один делится на бесконечность.
В «реальной жизни» не может быть мер, принимающих бесконечное количество значений (по нескольким различным философским аргументам, которые здесь не имеют большого значения), поэтому никакая ценность не должна принимать вероятность, равную нулю. Полезный практический аргумент основан на конечной точности измерений в реальном мире. Если вы используете секундомер, который измеряет до одной десятой секунды, у поезда будет одна десятая секунды, чтобы прибыть ровно через пять минут.
источник
Другие люди ответили, почему вероятность равна нулю (если вы аппроксимируете время как непрерывное, которое фактически не является , но в любом случае ...), поэтому я просто кратко повторю это. Чтобы ответить на последний вопрос, заданный ОП - «как это могло произойти, если бы у него была вероятность 0?» - может произойти много и много вещей, если они имеют нулевую вероятность. Весь набор вероятности, равный нулю означает, что в пространстве возможных вещей, которые могут произойти, множество занимает места. Вот и все. Это не более значимо, чем это.A A
Я пишу это, чтобы надеяться на что-то еще, что ФП сказал в комментариях:
Это очень хороший вопрос, с которым я, когда начал узнавать о вероятности, боролся. Вот ответ: это не эквивалентно вопросу, который вы изначально задавали! То, что вы сделали, - это привнесите время в анализ, а это означает, что базовая структура вероятностей изменится и станет намного более сложной. Это то что тебе нужно знать. Пространство вероятностей состоит из трех вещей: базовое пространство , такое как или ; набор всех возможных результатов в этом пространстве, такой как набор всех полуоткрытых интервалов в и мера которая удовлетворяет(Ω,A,μ) Ω R Z R μ μ(Ω)=1 , Ваша первоначальная задача живет в пространстве
где
- мера Лебега (это означает, что ). В этом пространстве вероятность того, что вы достигнете какой-либо одной точки равна нулю по причинам, рассмотренным выше - я думаю, что мы это выяснили. Но теперь, когда вы говорите такие вещи, как приведенный выше отрывок, вы определяете что-то, что называется фильтрацией , которую мы напишем как . Фильтрация в целом представляет собой набор подмножеств , удовлетворяющих для всех([a,b],all half open intervals on [a,b],ν) ν ν([c,d))=1d−c x∈[a,b] F={Ft}t≥0AFt⊆Fst<sFt={x∈[a,b]:удар дротика x в момент времени t′<t}, F1F={Ft}t≥0 A Ft⊆Fs t<s , В вашем случае мы можем определить фильтрацию
Теперь, в этом новом подмножестве вашего пространства результатов, угадайте, что --- вы правы! Вы попали в него, и после вашего первого броска вероятность того, что вы попадете в эту точку при ограничении фильтрации равна 1.Ft={x∈[a,b]:dart hit x at time t′<t}. F1
источник