Почему вероятность равна нулю для любого заданного значения нормального распределения?

Я заметил, что в нормальном распределении вероятность равна нулю, в то время как для распределения Пуассона она не будет равна нулю, когда является неотрицательным целым числом. $P(x=c)$ $c$

Мой вопрос: равна ли вероятность любой константы в нормальном распределении нулю, потому что она представляет площадь под любой кривой? Или это просто правило для запоминания?

probability normal-distribution poisson-distribution Психо 4 Физика
источник

непрерывное распределение против дискретного

Glen_b

Очень тесно связаны (немного другой вопрос, по сути, тот же ответ): stats.stackexchange.com/questions/4220 .

whuber

Ничто из того, что стоит знать, никогда не является «правилом для запоминания».

Мэтью Друри

Возможно, следующий мысленный эксперимент поможет вам лучше понять, почему вероятность равна нулю при непрерывном распределении: представьте, что у вас есть колесо фортуны . Обычно колесо разделено на несколько отдельных секторов, возможно , около 20. Если все секторы имеют одинаковую площадь, вы бы вероятность , чтобы ударить одного конкретного сектора (например , основную цену). Сумма всех вероятностей равна 1, так как . Более общий: если есть $Pr(X=a)$ $1/20$ $20\cdot 1/20 = 1$ $m$ сектора равномерно распределены по колесу, каждый сектор имеет вероятность удара (равномерные вероятности). Но что произойдет, если мы решили разделить колесо на миллион секторов. Теперь вероятность попадания одного конкретных секторов (главный приз), крайне мала: . Далее отметим, что указатель теоретически может останавливаться на бесконечном количестве позиций колеса. Если бы мы хотели получить отдельный приз за каждую возможную точку остановки, нам пришлось бы разделить колесо на бесконечное количество «секторов» равной площади (но каждый из них имел бы площадь 0). Но какую вероятность мы должны назначить каждому из этих «секторов»? Она должна быть равна нулю $1/m$ $1/10^{6}$ потому что если вероятности для каждого «сектора» были бы положительными и равными, сумма бесконечного числа равных положительных чисел расходится, что создает противоречие (общая вероятность должна быть 1). Вот почему мы можем назначить вероятность только интервалу , реальной области на колесе.

Более технически: в непрерывном распределении (например, непрерывное равномерное , нормальное и т. Д. ) Вероятность вычисляется путем интегрирования как площадь под функцией плотности вероятности (с ): Но площадь интервала длины 0 равна 0. $f(x)$ $a\leq b$

п (a \leq Икс \leq б) знак равно \int_{a}^{б} е (Икс) d Икс

$P(a\leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx$

Смотрите этот документ для аналогии колесо фортуны.

Распределение Пуассона, с другой стороны, является дискретным распределением вероятностей. Случайная переменная Пуассона может принимать только дискретные значения (т. Е. Число детей в одной семье не может быть 1,25). Вероятность того, что в семье ровно 1 ребенок, определенно не равна нулю, но положительна. Сумма всех вероятностей для всех значений должна быть 1. Другие известные дискретные распределения: биномиальное , отрицательное биномиальное , геометрическое , гипергеометрическое и многие другие .

COOLSerdash
источник

Этот аргумент проваливается в решающий момент: это не всегда тот случай, когда «сумма бесконечного числа положительных чисел бесконечна». Последовательность вероятностей Пуассона является контрпримером! Вы можете исправить это с помощью подходящей квалификации, например, указав, что сумма бесконечного числа положительных чисел, независимо от того, насколько малы они могут быть, расходится.

whuber

@whuber Я думаю, это то, что я имел в виду, когда писал ответ, но не смог сформулировать его правильно. Спасибо за внимание. Надеюсь, теперь это правильно.

COOLSerdash

1

$1$

@whuber Теперь я в замешательстве. Именно такую формулировку вы предложили мне добавить в вашем первом комментарии: «[...] например, указав, что сумма бесконечного числа положительных чисел, независимо от того, насколько они малы, расходится»

COOLSerdash

@whuber Правильно, теперь все понятно. Я добавил квалификацию к своему ответу. Еще раз спасибо за указание на это.

COOLSerdash

Почему вероятность равна нулю для любого заданного значения нормального распределения?

Ответы: