Сумма двух независимых гамма-случайных величин

Согласно статье в Википедии о гамма-распределении :

Если $X\sim\mathrm{Gamma}(a,\theta)$ и $Y\sim\mathrm{Gamma}(b,\theta)$ , где $X$ и $Y$ - независимые случайные величины, то $X+Y\sim \mathrm{Gamma}(a+b, \theta)$ .

Но я не вижу никаких доказательств. Кто-нибудь может указать мне на его доказательство, пожалуйста?

Изменить: Большое спасибо Zen, а также я нашел ответ в качестве примера на странице Википедии о характерных функциях .

Доказательство состоит в следующем: (1) Помните, что характеристическая функция суммы независимых случайных величин является произведением их индивидуальных характеристических функций; (2) Получить характеристическую функцию гамма-случайной величины здесь ; (3) Делаем простую алгебру.

Чтобы получить некоторую интуицию за пределами этого алгебраического аргумента, проверьте комментарий Уубера.

Примечание: ОП спросил, как вычислить характеристическую функцию гамма-случайной величины. Если , то ( в данном случае вы можете рассматривать i как обычную постоянную)$X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$$i$

$$\psi_X(t)=\mathrm{E}\left[e^{itX}\right]=\int_0^\infty e^{itx} \lambda\,e^{-\lambda x}\,dx = \frac{1}{1-it/\lambda}\, .$$

Теперь воспользуйтесь подсказкой Хубера: если , то Y = X 1 + ⋯ + X k , где X i являются независимыми E x p ( λ = 1 / θ ) . Поэтому, используя свойство (1), имеем ψ Y ( t ) = ( $Y\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$$Y=X_1+\dots+X_k$$X_i$$\mathrm{Exp}(\lambda = 1/\theta)$

$$\psi_Y(t) = \left( \frac{1}{1-it\theta}\right)^k \, .$$

Совет: вы не будете изучать эти вещи, глядя на результаты и доказательства: оставайтесь голодными, вычисляйте все, пытайтесь найти свои собственные доказательства. Даже если вы потерпите неудачу, ваша оценка чужого ответа будет на гораздо более высоком уровне. И да, терпеть неудачу - это нормально: никто не смотрит! Единственный способ выучить математику - это кулачный бой за каждую концепцию и результат.

$\theta = 1$$z > 0$

$$\begin{align} f_{X+Y}(z) &= \int_0^z f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx\\ &=\int_0^z \frac{x^{a-1}e^{-x}}{\Gamma(a)}\frac{(z-x)^{b-1}e^{-(z-x)}}{\Gamma(b)}\,\mathrm dx\\ &= e^{-z}\int_0^z \frac{x^{a-1}(z-x)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dx &\scriptstyle{\text{now substitute}}~ x = zt~ \text{and think}\\ &= e^{-z}z^{a+b-1}\int_0^1 \frac{t^{a-1}(1-t)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dt & \scriptstyle{\text{of Beta}}(a,b)~\text{random variables}\\ &= \frac{e^{-z}z^{a+b-1}}{\Gamma(a+b)} \end{align}$$

On a more heuristic level: If $a$ and $b$ are integers, the Gamma distribution is an Erlang distribution, and so $X$ and $Y$ describe the waiting times for respectively $a$ and $b$ occurrences in a Poisson process with rate $\theta$. The two waiting times $X$ and $Y$ are

1. independent
2. sum up to a waiting time for $a+b$ occurrences

and the waiting time for $a+b$ occurrences is distributed Gamma($a+b,\theta$).

None of this is a mathematical proof, but it puts some flesh on the bones of the connection, and can be used if you want to flesh it out in a mathematical proof.