Как мне мысленно разобраться с парадоксом Бореля?

Мне немного неловко от того, как я мысленно справился с парадоксом Бореля и другими связанными с ним «парадоксами», связанными с условной вероятностью. Для тех, кто читает это, кто не знаком с этим, посмотрите эту ссылку . Мой ментальный ответ до этого момента был в основном игнорировать это, потому что никто, кажется, не говорит об этом, но я чувствую, что должен исправить это.

Мы знаем, что этот парадокс существует, и все же кажется, что на практике (как крайний пример, байесовский анализ) мы прекрасно справляемся с условиями событий ; если X - мои данные, мы постоянно определяем X = x , даже если это событие меры 0, когда $0$$X$$X = x$$0$$X$ непрерывно. И мы, конечно же, не прилагаем никаких усилий, чтобы построить последовательность событий, сходящихся к событию, которое мы наблюдали, чтобы разрешить парадокс, по крайней мере, явно.

Я думаю, что это нормально, потому что мы по существу зафиксировали случайную величину (в принципе) перед экспериментом, и поэтому мы обусловливаем σ ( X ) . То есть, σ ( X ) является естественной σ- алгеброй, на которую нужно поставить условие, потому что информация X = x будет использоваться через X - если бы она пришла к нам каким-либо другим способом, мы бы поставили условие на другую σ- алгебру. Парадокс Бореля возникает потому, что (я полагаю) не очевидно, на какую подходящую σ- алгебру накладывать условия, но Байесовский указал $X$$\sigma(X)$$\sigma(X)$$\sigma$$X = x$$X$$\sigma$$\sigma$ . Поскольку мы априори указываем, что информация X = x пришла к нампосредством измерения X, мы находимся в открытом виде. Как только мы определили σ- алгебру, все в порядке; мы строим наше условное ожидание, используя Радона-Никодима, и все уникально, вплоть до нулевых множеств.$\sigma(X)$$X = x$$X$$\sigma$

Это по существу правильно, или я далеко? Если я далеко, то , что это оправдание для себя , как мы делаем? [Учитывая характер вопросов и ответов на этом сайте, расценивайте это как мой вопрос.] Когда я принял теоретико-меру вероятности, мы по какой-то причине, которую я не понимаю, даже не коснулись условного ожидания. В результате я переживаю, что мои идеи очень запутаны.

Как байесовец, я бы сказал, что парадокс Бореля не имеет (или очень мало) общего с байесовской статистикой. Разумеется, что в байесовской статистике используются условные распределения. Тот факт, что нет никакого парадокса в определении апостериорного распределения как условного на множестве нулевой меры состоит в том, что x выбран не заранее, а как результат наблюдения. Таким образом, если мы хотим использовать экзотические определения для условных распределений на множествах нулевой меры, существует нулевая вероятность того, что эти множества будут содержать $\{X=x\}$$x$$x$что мы будем наблюдать в конце. Условное распределение определяется однозначно почти повсеместно и, следовательно, почти наверняка по нашему наблюдению. Это также означает (великую) цитату А. Колмогорова в в Википедии.

Местом в байесовском анализе, где теоретико-мерные тонкости могут превратиться в парадокс, является представление Байеса фактора Сэвиджа-Дики, поскольку оно зависит от конкретной версии предыдущей плотности (как обсуждалось в нашей статье по теме ...)