Как рассчитать ожидание ?

Если экспоненциально распределен с параметром а взаимно независимы, каково ожидание $X_i$ $(i=1,...,n)$ $\lambda$ $X_i$

{(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2}

$\left(\sum_{i=1}^n {X_i} \right)^2$

с точки зрения $n$ и $\lambda$ и, возможно, других констант?

Примечание. Этот вопрос получил математический ответ на /math//q/12068/4051 . Читатели тоже посмотрят на это.

expected-value exponential gamma-distribution Исаак
источник

Две копии этого вопроса ссылаются друг на друга, и, соответственно, сайт статистики (здесь) имеет статистический ответ, а математический сайт - математический ответ. Это похоже на хорошее разделение: пусть оно стоит!

whuber

Ответы:

Если , то (при независимости) , поэтому имеет гамма-распределение (см. Википедию ). Итак, нам просто нужно . Поскольку , мы знаем, что . Следовательно, ( ожидание и дисперсия гамма-распределения см. В Википедии ). $x_i \sim Exp(\lambda)$ $y = \sum x_i \sim Gamma(n, 1/\lambda)$ $y$ $E[y^2]$ $Var[y] = E[y^2] - E[y]^2$ $E[y^2] = Var[y] + E[y]^2$ $E[y^2] = n/\lambda^2 + n^2/\lambda^2 = n(1+n)/\lambda^2$

Wolfgang
источник

Благодарю. Очень аккуратный способ ответить на вопрос (ведущий к тому же самому ответу) был также предоставлен на math.stackexchange (ссылка выше в вопросе) несколько минут назад.

Вольфганг

Математический ответ вычисляет интегралы, используя линейность ожидания. В некотором смысле это проще. Но мне нравится ваше решение, потому что оно использует статистические знания: поскольку вы знаете, что сумма независимых экспоненциальных переменных имеет гамма-распределение, все готово.

whuber

Мне это очень понравилось, и я ни в коем случае не статистик и не математик.

Кортук

очень элегантный ответ.

Cyrus S

@Dilip Математик склонен рассматривать этот вопрос как вопрос об интеграле и приступает непосредственно к его интеграции. Статистик повторно выражает его в терминах знакомых статистических величин, таких как дисперсия, и знакомых статистических отношений, таких как то, что Экспонента является Гаммой, а семейство Гамма замкнуто в свертке. Ответы те же, но подходы совершенно разные. Тогда возникает вопрос, что на самом деле означает «делать интеграцию». Например, этот сложный интеграл выполняется чисто алгебраически.

whuber

Ответ выше очень хороший и полностью отвечает на вопрос, но вместо этого я приведу общую формулу для ожидаемого квадрата суммы и применим ее к конкретному примеру, упомянутому здесь.

Для любого набора констант это факт, что $a_1, ..., a_n$

{(\sum_{i = 1}^{n} a_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} a_{j}

$\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i} a_{j}$

это верно для свойства Distributive и становится понятным, когда вы учитываете, что делаете, когда вычисляете вручную. $(a_1 + ... + a_n) \cdot (a_1 + ... + a_n)$

Поэтому для выборки случайных величин , независимо от распределений, $X_1, ..., X_n$

E ({[\sum_{i = 1}^{n} X_{i}]}^{2}) = E (\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j})

$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$

при условии, что эти ожидания существуют.

В примере из задачи являются случайными переменными iid , что говорит нам о том, что и для каждого . По независимости, для , мы имеем $X_1, ..., X_n$ ${\rm exponential}(\lambda)$ $E(X_{i}) = 1/\lambda$ ${\rm var}(X_i) = 1/\lambda^2$ $i$ $i \neq j$

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}) \cdot E (X_{j}) = \frac{1}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_i) \cdot E(X_j) = \frac{1}{\lambda^2}$

В сумме есть из этих слагаемых. Когда , мы имеем $n^2 - n$ $i = j$

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}^{2}) = v a r (X_{i}) + E (X_{i})^{2} = \frac{2}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_{i}^{2}) = {\rm var}(X_{i}) + E(X_{i})^2 = \frac{2}{\lambda^2}$

и есть этих слагаемых в сумме. Поэтому, используя формулу выше, $n$

E {(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j}) = (n^{2} - n) \cdot \frac{1}{λ^{2}} + n \cdot \frac{2}{λ^{2}} = \frac{n^{2} + n}{λ^{2}}

$E \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j) = (n^2 - n)\cdot\frac{1}{\lambda^2} + n \cdot \frac{2}{\lambda^2} = \frac{n^2 + n}{\lambda^2}$

это твой ответ.

макрос
источник

Эта проблема является лишь частным случаем гораздо более общей проблемы «моментов моментов», которые обычно определяются в терминах обозначения суммы степеней. В частности, в степенной системе обозначений:

s_{1} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$s_1 = \sum_{i=1}^{n} X_i$

Затем, независимо от распределения , оригинальный плакат ищет (при условии, что моменты существуют). Поскольку оператор ожиданий - это всего лишь 1-й необработанный момент, решение предоставляется в программном обеспечении mathStatica: $E[s_1^2]$

[«___ ToRaw» означает, что мы хотим, чтобы решение было представлено с точки зрения необработанных моментов населения (а не, скажем, центральных моментов или совокупностей). ]

Наконец, если ~ Exponential ( ) с pdf : $X$ $\lambda$ $f(x)$

f = Exp[-x/λ]/λ;      domain[f] = {x, 0, ∞} && {λ > 0};

тогда мы можем заменить моменты в общем решении фактическими значениями для экспоненциальной случайной величины, например, так: $\mu_i$ sol

Все сделано.

PS Причина, по которой другие решения, опубликованные здесь, дают ответ с в знаменателе, а не в числителе, конечно, потому что они используют другую параметризацию экспоненциального распределения. Поскольку в ОП не указывалось, какую версию он использовал, я решил использовать стандартное определение учебника по теории распределения Джонсона Коца и других… просто чтобы сбалансировать ситуацию :) $\lambda^2$

wolfies
источник