Я собираюсь начать с того, что сразу скажу, что это домашнее задание. Я потратил пару часов на поиски ожидаемых значений и решил, что ничего не понимаю.
Пусть имеет CDF . Найдите для тех значений для которых существует .
Я понятия не имею, как даже начать это. Как я могу определить, какие значения существуют? Я также не знаю, что делать с CDF (я предполагаю, что это означает функцию кумулятивного распределения). Существуют формулы для нахождения ожидаемого значения, когда у вас есть функция частоты или функция плотности. Википедия говорит, что CDF может быть определен через функцию плотности вероятности следующим образом:
Это насколько я получил. Куда мне идти отсюда?
РЕДАКТИРОВАТЬ: я хотел поставить .
источник
Использование функции плотности не обязательно
Интегрировать 1 минус CDF
Если у вас есть случайная переменная , у которой есть неотрицательная опора (то есть переменная имеет ненулевую плотность / вероятность только для положительных значений), вы можете использовать следующее свойство:X
Аналогичное свойство применяется в случае дискретной случайной величины.
доказательство
Поскольку ,1−FX(x)=P(X≥x)=∫∞xfX(t)dt
Затем измените порядок интеграции:
Признавая, что является фиктивной переменной, или беря простую подстановку и ,т = х д т = д хt t=x dt=dx
приписывание
Я использовал раздел « Формулы для особых случаев» статьи « Ожидаемое значение» в Википедии, чтобы освежить память о доказательствах. Этот раздел также содержит доказательства для случая дискретной случайной величины, а также для случая, когда функция плотности не существует.
источник
Результат распространяется на - й момент , а также. Вот графическое представление: Xk X
источник
Я думаю, что вы на самом деле имеете в виду , иначе CDF будет пустым, так как .F ( 1 ) = 1 - 1 - α = 1 - 1 = 0x≥1 F(1)=1−1−α=1−1=0
Что вы «знаете» о CDF, так это то, что они в конечном итоге приближаются к нулю, когда аргумент уменьшается без ограничений, и в конечном итоге приближаются к единице как . Они также неубывающие, так что это означает для всех .x → ∞ 0 ≤ F ( y ) ≤ F ( x ) ≤ 1 y ≤ xx x→∞ 0≤F(y)≤F(x)≤1 y≤x
Поэтому, если мы подключим CDF, мы получим:
Из этого мы заключаем, что поддержка - это . Теперь мы также требуем что подразумевает, чтоx x≥1 limx→∞F(x)=1 α>0
Чтобы определить, какие ценности существуют, нам необходимо:
И это последнее выражение показывает, что для существования мы должны иметь , что, в свою очередь, подразумевает . Это можно легко расширить, чтобы определить значения для которых существует -й необработанный момент .- α < - 1 α > 1 α r E ( X rE(X) −α<−1 α>1 α r E(Xr)
источник
Ответ, требующий изменения порядка, излишне безобразен. Вот более элегантное 2-строчное доказательство.
Теперь возьмем иdu=dx v=1−F(x)
источник