Почему ожидание такое же, как среднее арифметическое?

Сегодня я натолкнулся на новую тему под названием «Математическое ожидание». В книге, за которой я следую, говорится, что ожидание - это среднее арифметическое случайной величины, получаемой из любого распределения вероятностей. Но он определяет ожидание как сумму произведений некоторых данных и вероятности этого. Как эти два (среднее и ожидание) могут быть одинаковыми? Как сумма вероятностей, умноженная на данные, может быть средним значением всего распределения?

Неформально распределение вероятностей определяет относительную частоту результатов случайной величины - ожидаемое значение можно рассматривать как средневзвешенное значение этих результатов (взвешенное по относительной частоте). Точно так же ожидаемое значение можно рассматривать как среднее арифметическое для набора чисел, сгенерированного в точной пропорции к их вероятности появления (в случае непрерывной случайной величины это не совсем верно, поскольку конкретные значения имеют вероятность ).$0$

Связь между ожидаемым значением и средним арифметическим наиболее ясна с дискретной случайной величиной, где ожидаемое значение

$$E(X) = \sum_{S} x P(X=x)$$

где - пробное пространство. В качестве примера предположим, что у вас есть дискретная случайная величина такая, что:$S$$X$

$$X = \begin{cases} 1 & \mbox{with probability } 1/8 \\ 2 & \mbox{with probability } 3/8 \\ 3 & \mbox{with probability } 1/2 \end{cases}$$

То есть массовая функция вероятности , и . Используя формулу выше, ожидаемое значениеР ( Х = 2 ) = 3 / 8 Р ( Х = 3 ) = 1 /$P(X=1)=1/8$$P(X=2)=3/8$$P(X=3)=1/2$

$$E(X) = 1\cdot (1/8) + 2 \cdot (3/8) + 3 \cdot (1/2) = 2.375$$

Теперь рассмотрим числа, сгенерированные с частотами, точно пропорциональными массовой функции вероятности - например, набор чисел - два с, шесть с и восемь с. Теперь возьмем среднее арифметическое этих чисел:$\{1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3\}$$1$$2$$3$

$$\frac{1+1+2+2+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3}{16} = 2.375$$

и вы можете увидеть, что он точно равен ожидаемому значению.

Ожидание - это среднее значение или среднее случайной величины, а не распределение вероятностей. Таким образом, для дискретных случайных величин средневзвешенное значение значений, которое принимает случайная переменная, где взвешивание соответствует относительной частоте появления этих отдельных значений. Для абсолютно непрерывной случайной величины это интеграл значений x, умноженный на плотность вероятности. Наблюдаемые данные можно рассматривать как значения набора независимых одинаково распределенных случайных величин. Среднее значение выборки (или ожидание выборки) определяется как ожидание данных относительно эмпирического распределения наблюдаемых данных. Это делает его просто средним арифметическим данных.

Давайте обратим пристальное внимание на определения:

Среднее значение определяется как сумма набора чисел, деленная на количество чисел в наборе. Расчет будет "для i в 1 до n, (сумма х к югу я) делится на п."

Ожидаемое значение (EV) - это долгосрочное среднее значение повторений эксперимента, которое оно представляет. Вычисление будет «для i от 1 до n, сумма события x sub i, умноженная на его вероятность (и сумма всех p sub i должна = 1)».

В случае честного кубика легко увидеть, что среднее и EV одинаковы. Среднее значение - (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 - 3,5 и EV будет:

проб хп * х

0,167 1 0,17

0,167 2 0,33

0,167 3 0,50

0,167 4 0,67

0,167 5 0,83

0,167 6 1,00

EV = сумма (p * x) = 3,50

Но что, если бы они не были «честными»? Простой способ сделать несправедливый штамп - это просверлить отверстие в углу на пересечении 4, 5 и 6 граней. Далее, давайте теперь скажем, что вероятность броска 4, 5 или 6 на нашем новом и улучшенном изогнутом кристалле теперь равна .2, а вероятность броска 1, 2 или 3 теперь равна .133. Это тот же кубик с 6 лицами, по одному числу на каждом лице, и среднее значение для этого кубика все еще равно 3,5. Однако после многократного броска кубика наш EV теперь равен 3,8, потому что вероятности событий больше не одинаковы для всех событий.

проб хп * х

0,133 1 0,13

0,133 2 0,27

0,133 3 0,40

0,200 4,80

0,200 5 1,00

0,200 6 1,20

EV = сумма (p * x) = 3,80

Опять же, давайте будем осторожны и вернемся к определению, прежде чем сделать вывод, что одна вещь всегда будет «одинаковой» с другой. Взгляните на то, как установлен нормальный кристалл, просверлите отверстие в 7 других углах и посмотрите, как меняются электромобили, - получайте удовольствие.

Bob_T

Единственное различие между «средним» и «ожидаемым значением» состоит в том, что среднее значение в основном используется для распределения частоты, а ожидание используется для распределения вероятности. В распределении частот выборочное пространство состоит из переменных и их частот появления. В распределении вероятностей выборочное пространство состоит из случайных величин и их вероятностей. Теперь мы знаем, что суммарная вероятность всех переменных в выборочном пространстве должна быть = 1. Здесь кроется основная разница. Знаменательный термин для ожидания всегда = 1. (т. е. суммация f (xi) = 1) Однако таких ограничений на суммирование частоты нет (в основном это общее количество записей).