Почему ожидаемое значение названо так?

Я понимаю, как мы получаем 3,5 в качестве ожидаемого значения для бросания честного 6-стороннего кубика. Но интуитивно я могу ожидать, что каждое лицо с равным шансом 1/6.

Так не должно ли ожидаемое значение броска кубика быть числом от 1 до 6 с равной вероятностью?

Другими словами, когда задают вопрос «какова ожидаемая стоимость бросания честного шестигранного кубика?», Нужно ответить «о, это может быть что-то между 1-6 с равным шансом». Вместо этого 3,5.
Интуитивно понятно, в реальном мире, кто-то может объяснить, как 3,5 это значение, которое я должен ожидать при броске кубика?
Опять же, я не хочу формулу или вывод для ожидания.

Представьте, что вы находитесь в Париже в 1654 году, и вы и ваш друг наблюдаете за азартной игрой, основанной на последовательном бросании шестигранных костей. Теперь азартные игры крайне незаконны, а жандармы довольно часты, и быть пойманными за столом со стопками ливра - это почти наверняка гарантировать длительное пребывание в Шато д'Иф.

Чтобы обойти это, у вас и вашего друга есть джентльменское соглашение о ставке между вами двумя до последнего броска кубика. Он соглашается заплатить вам пять ливров, если вы наблюдаете две шестерки в следующих пяти бросках костей, и вы соглашаетесь заплатить ему ту же сумму, если выпадают две, без каких-либо других действий, если эти комбинации не выпадают.

Теперь последний бросок кубика - шесть, так что вы находитесь на краю своего места, в переносном смысле. В этот момент тяжело вооруженные гвардейцы ворвались в логово и арестовали всех за столом, и толпа рассеялась.

Ваш друг считает, что ставка, заключенная между вами двумя, теперь аннулирована. Тем не менее, вы считаете, что он должен заплатить вам некоторую сумму, поскольку одна шестерка уже выпала. Как найти справедливый способ урегулирования этого спора между вами двумя?

(Это моя интерпретация происхождения ожидаемого значения, представленная здесь и обсужденная здесь более подробно ).

Давайте ответим на этот вопрос справедливой стоимости не строго. Сумма, которую должен заплатить ваш друг, может быть рассчитана следующим образом. Рассмотрим все возможные броски четырех кубиков. Некоторые наборы бросков (а именно те, которые содержат как минимум одну шестерку) приведут к тому, что ваш друг выплатит согласованную сумму. Однако в других наборах (а именно в тех, которые не содержат ни одной шестерки) вы не получите денег. Как вы уравновешиваете возможность этих двух типов бросков? Проще говоря, усредните сумму, которую вы заплатили бы за ВСЕ возможные рулоны.

Тем не менее, ваш друг (маловероятно) все еще может выиграть свою ставку! Вы должны учитывать, сколько раз два броска будут брошены в оставшиеся четыре кубика, и усреднить сумму, которую вы заплатите ему, по числу всех возможных бросков четырех кубиков. Это справедливая сумма, которую вы должны заплатить своему другу за его ставку. Таким образом, сумма, которую вы в итоге получаете, равна сумме, которую ваш друг должен заплатить вам, за вычетом того, что вы должны заплатить своему другу.

Вот почему мы называем это «ожидаемой стоимостью». Это средняя сумма, которую вы ожидаете получить, если вы в состоянии смоделировать событие, происходящее в нескольких одновременных вселенных.

Отличный вопрос. Это тоньше, чем кажется на первый взгляд. Это связано со случайным событием и случайной величиной (число, значение). Ваша путаница проистекает из смешения этих двух взаимосвязанных, но разных концепций.

Давайте начнем с события. Из того, как вы сформулировали свой вопрос, кажется, что вы учитываете результат броска костей. Это случайно, так что вы можете получить одну из шести сторон с равным шансом, как вы написали. Это имеет смысл.

Какова ожидаемая ценность этого эксперимента? Ожидания определены для случайных величин (значений), а не событий. Для вас цифры от 1 до 6 на кубике - это просто способы различить их стороны (в контексте формулировки вашего вопроса). Представьте, что вы вместо этого использовали буквы: A, B, C, D, E и F. Замените цифры буквами и повторите свой вопрос следующим образом:

Другими словами, когда задают вопрос «какова ожидаемая стоимость бросания честного шестигранного кубика?», Нужно ответить «о, это может быть что-нибудь между A и F с равным шансом»

Теперь попробуйте придумать ожидаемое значение. Это не определено!

Ожидания появляются, когда вы определяете случайные значения, например от 1 до 6. Вы отображаете значения в пространство событий, например, вы определяете, что сторона A равна 1, сторона B равна 2 и т. Д. Теперь у вас есть 6 чисел, и вы можете рассчитать ожидание, которое оказывается 3,5.

«Каждое из значений одинаково вероятное» или «некоторое значение наиболее вероятное» является определением режима, а не ожидаемого значения.

Представьте, что мы играем в игру с подбрасыванием монет. Каждый раз, когда я кидаю головы, я даю тебе 1 доллар , каждый раз, когда я кидаю хвосты, ты даешь мне 1 доллар . Сколько денег вы ожидаете выиграть или проиграть в долгосрочной перспективе ? Суммы равны, вероятности их выбрасывания равны, ожидаемое значение равно нулю.

Ожидаемое значение называется так, потому что если вы усредните все броски костей, вы ожидаете получить это ожидаемое значение в долгосрочной перспективе . Ожидаемое значение не связано ни с одним броском костей.

С исторической точки зрения понятие, казалось, появилось в разных странах, поэтому я бы рассмотрел использование этого слова как удобную конвергенцию между сходными понятиями в разных языках.

Моей отправной точкой было превосходное раннее использование символов в вероятности и статистике :

Expectation. Большой сценарий E был использован для ожидания в хорошо известном учебнике У. Уитворта «Выбор и случайность» (пятое издание) 1901 года, но ни символ, ни исчисление ожиданий не вошли в английскую литературу намного позже. Например, математическая статистика Рита (1927) использовала символ E и прокомментировала, что «ожидаемое значение переменной является концепцией, которая широко используется различными авторами из континентальной Европы ...» Для авторов из континентальной Европы E означает «Erwartung» или « espérance (примечание редактора: mathématique) ».

Этот термин иногда «приписывается» Гюйгенсу, что обсуждается в « Основаниях вероятности Гюйгенса» :

Общепринято, что вероятность Гюйгенса основана на ожидании. Термин «ожидание», однако, происходит от латинского перевода трактата Гюйгенса Ван-Шутена. Дословный перевод голландского текста Гюйгенса более четко показывает, что на самом деле имел в виду Гюйгенс и как он действовал.

Дополнительные подробности в отношении Ферма, Паскаля можно найти в « Ожидании» и ранних вероятностниках .

Интересно, что более общей концепцией, чем ожидаемая ценность, является местоположение . Таким образом, концепция ожидаемой стоимости имеет тонкие последствия, которые несколько сбивают с толку.

$\leq 3$$\$1$$\geq 4$ теряет 1 доллар, работает так же, как в среднем, с преимуществом фактического достижения результатов в этой вселенной.

Причина чрезмерно ограниченной связи между термином «ожидаемое значение» и «среднее значение» представляется исторической, а не семантически правильной или даже особенно убедительной. То есть контекст, в котором вычисленное ожидаемое значение является согласованным, ожидание поведения, характеризующего местоположение в наборе данных, ограничено только определенными распределениями данных, а не другими.

$f$ Применимо, таким образом, прослеживается к Чебышеву в 1887 году. Такова сила центральной предельной теоремы, что она стала выражением в скобках, чтобы связать ожидаемое значение со средним значением, в отличие от более общего показателя местоположения.

Но как насчет распределения данных, которое не является нормальным, для которого другие меры более стабильны и / или более репрезентативны для этих данных? Например, среднее значение или среднее экстремальное значение данных из равномерного распределения является более точным и стабильным, т. Е. Точным и сходится быстрее, чем среднее значение или медиана этого распределения. Для логарифмически нормальных распределений, например (большая часть обработки) данных о доходах, анти-логарифм среднего логарифма данных ( среднее геометрическое значение АКА)$\alpha \beta ^{\alpha } t^{-\alpha -1}$$\alpha \leq 1$$\alpha \leq 1$$\alpha \gt 1$