Центральная предельная теорема и закон больших чисел

18

У меня есть вопрос новичка относительно центральной предельной теоремы (CLT):

Мне известно, что CLT утверждает, что среднее значение случайных величин iid приблизительно нормально распределено (для , где - индекс слагаемых), или что стандартизированная случайная величина будет иметь стандартное нормальное распределение.nnn

Теперь закон большого числа гласит, что среднее значение случайных величин iid сходится (по вероятности или почти наверняка) к их ожидаемому значению.

Чего я не понимаю, так это: если, как утверждает CLT, среднее значение приблизительно нормально распределено, как тогда оно может одновременно сходиться к ожидаемому значению?

Для меня конвергенция подразумевает, что со временем вероятность того, что среднее значение примет значение, которое не является ожидаемым, почти равна нулю, следовательно, распределение не будет действительно нормальным, а почти нулевым везде, кроме ожидаемого значения.

Любое объяснение приветствуется.

Pegah
источник
Ключ к ответу лежит в том, где слово «стандартизированный» появляется в вашем вопросе.
whuber
Извините, но я не уверен, что понимаю.
Pegah
7
Подсказка: одна теорема о который имеет дисперсиюσ2, другой около11NΣяИксяσ2с дисперсиейσ21NΣяИкся . σ2N
Дилип Сарвейт
13
Центральная предельная теорема о путешествии, а строгий закон больших чисел - о пункте назначения.
кардинал

Ответы:

23

На этом рисунке показаны распределения средних значений (синий), 10 (красный) и 100 (золотой) независимых и идентично распределенных ( iid ) нормальных распределений (единичной дисперсии и среднего μ ):Nзнак равно110100μ

Три пересекающихся PDF-файла

Nμ(a,б)μ[a,б]N1

0μ

NN

Whuber
источник
@whuber довольно хороший ответ, я буду признателен за некоторые объяснения того, что мы понимаем под слабым законом большого числа.
Субхаш С. Давар