Для случайной величины ( ) я интуитивно чувствую, что должен равняться поскольку по свойству без памяти распределение такое же, как у но смещено вправо на .
Однако я изо всех сил пытаюсь использовать свойство без памяти, чтобы дать конкретное доказательство. Любая помощь очень ценится.
Благодарю.
Ответы:
Пусть обозначим функцию плотности вероятности (PDF) из . Тогда математическая формулировка того , что вы правильно состояние а именно, условно ПДФ при условии , что является такой же , как и , но сдвинуты вправо на это то , что . Следовательно, , то ожидаемое значение из при условии , что являетсяfX(t) X − X { X > x } X x - f X ∣ X > x ( t ) = f X ( t - x ) E [ X ∣ X > x ] X { X > x } E [ X ∣ X > x ]X {X>x} X x − fX∣X>x(t)=fX(t−x) E[X∣X>x] X {X>x} E[X∣X>x]=∫∞−∞tfX∣X>x(t)dt=∫∞−∞tfX(t−x)dt=∫∞−∞(x+u)fX(u)du=x+E[X].on substituting u=t−x
Обратите внимание, что мы явно не использовали плотность в вычислениях, и даже не нужно явно интегрировать, если мы просто помним, что (i) область под pdf равна и (ii) определение ожидаемого значения непрерывной случайной величины в терминах ее pdf.X 11
источник
Для событие имеет вероятность . Следовательно, но (используя трюк Фейнмана, подтвержденный теоремой о доминируемой сходимости, потому что это весело) { X > x } P { X > x } = 1 - F X ( x ) = e - λ x > 0x>0 {X>x} P{X>x}=1−FX(x)=e−λx>0
источник