Допустим, у нас есть случайная величина с известной дисперсией и средним значением. Вопрос в том, какова дисперсия f ( X ) для некоторой заданной функции f. Единственный общий метод, который мне известен, - это дельта-метод, но он дает только приблизительное значение. Теперь меня интересует f ( x ) = √ , но было бы также неплохо узнать некоторые общие методы.
Редактировать 29.12.2010
Я провел некоторые расчеты с использованием рядов Тейлора, но я не уверен, верны ли они, поэтому я был бы рад, если бы кто-то смог их подтвердить .
Сначала нам нужно приблизить
Теперь мы можем приблизить E [(f (X) -E [f (X)]) ^ 2] \ приблизительное E [(f (\ mu) + f '(\ mu) ( X- \ mu) + \ frac {1} {2} \ cdot f '' (\ mu) (X- \ mu) ^ 2 -E [f (X)]) ^ 2]E [ ( f ( X ) - E [ f ( X ) ] ) 2 ] ≈ E [ ( f ( μ ) + f ′ ( μ ) ( X - μ ) + 1
Используя приближение мы знаем, что
Используя это, мы получаем:
источник
Ответы:
Обновить
Я недооценил расширения Тейлора. Они на самом деле работают. Я предположил, что интеграл от остаточного члена может быть неограниченным, но, немного поработав, можно показать, что это не так.
Разложение Тейлора работает для функций в ограниченном замкнутом интервале. Для случайных величин с конечной дисперсией неравенство Чебышева дает
Таким образом, для любого мы можем найти достаточно большой с, чтобыε > 0 с
Сначала оценим . Имеем E f ( X ) = ∫ | х - Е X | ≤ C F ( х ) д Р ( х ) + ∫ | х - Е X | > c f ( x ) d F ( x ), где F ( x ) - функция распределения дляЕе( X)
Поскольку областью первого интеграла является интервал который является ограниченным замкнутым интервалом, мы можем применить разложение Тейлора: f ( x ) = f ( E X ) + f ′ ( E X ) ( x - E X ) + f ″ ( E X )[EX−c,EX+c]
гдеα∈[EX-c,EX+c], и равенство выполняется для всехx∈[EX-c,EX+c]. Я взял только 4 члена в разложении Тейлора, но в общем случае мы можем взять столько, сколько захотим, при условии, что функцияfдостаточно гладкая.
Подставляя эту формулу в предыдущую, получим
Now for the variance we can use Taylor approximation forf(x) , subtract the formula for Ef(x) and square the difference. Then
whereT3 involves moments E(X−EX)k for k=4,5,6 . We can arrive at this formula also by using only first-order Taylor expansion, i.e. using only the first and second derivatives. The error term would be similar.
Other way is to expandf2(x) :
Similarly we get then
Формула для дисперсии становится
источник
Знать первые два момента X (среднее значение и дисперсию) недостаточно, если функция f (x) произвольна (нелинейна). Не только для вычисления дисперсии преобразованной переменной Y, но и для ее среднего. Чтобы увидеть это - и, возможно, атаковать вашу проблему - вы можете предположить, что ваша функция преобразования имеет расширение Тейлора вокруг среднего значения X и работает оттуда.
источник