Дисперсия произведения нескольких случайных величин

44

Мы знаем ответ для двух независимых переменных:

Var(XY)=E(X2Y2)(E(XY))2=Var(X)Var(Y)+Var(X)(E(Y))2+Var(Y)(E(X))2

Однако, если мы возьмем произведение более двух переменных, , каким будет ответ с точки зрения отклонений и ожидаемых значений каждой переменной?Var(X1X2Xn)

DAMLA
источник
5
Поскольку является случайной величиной и (при условии, что все независимы), она не зависит от , ответ получается индуктивно: ничего нового не требуется. Чтобы это не казалось слишком загадочным, метод не отличается от указания на то, что, поскольку вы можете добавить два числа с помощью калькулятора, вы можете добавить чисел с помощью одного и того же калькулятора путем повторного добавления. X1X2Xn1XiXnn
whuber
3
Не могли бы вы выписать доказательство вашего отображенного уравнения? Мне любопытно узнать, что случилось с который должен дать вам несколько терминов, связанных с . (E[XY])2cov(X,Y)
Дилип Сарватэ
5
@DilipSarwate, я подозреваю, что этот вопрос молчаливо предполагает, что и независимы. Формула ОП правильна, когда оба некоррелированы, а некоррелированы. Смотрите мой ответ на связанный вопрос здесь . XYX,YX2,Y2
Макро
5
@ Макро Я хорошо осведомлен о том, что вы подняли. То, что я пытался заставить ОП понять и / или выяснить для себя, было то, что для независимых случайных величин так же, как упрощается до упрощается до которые Я думаю, что это более прямой способ достижения конечного результата, чем индуктивный метод, который указал Уабер. E[X2Y2]
E[X2Y2]=E[X2]E[Y2]=(σX2+μX2)(σY2+μY2),
E[(X1Xn)2]
E[(X1Xn)2]=E[X12]E[Xn2]=i=1n(σXi2+μXi2)
Дилип Сарватэ
@DilipSarwate, хорошо. Я предлагаю вам опубликовать это в качестве ответа, чтобы я мог проголосовать за него!
Макро

Ответы:

38

Я буду считать , что случайные величины являются независимыми , что условие ОП имеет не включен в постановке задачи. С этим предположением мы имеем Если первое слагаемое, указанное выше, умножено, один из слагаемые в разложении исключают второй член произведения выше, поэтому для случаяX1,X2,,Xn

var(X1Xn)=E[(X1Xn)2](E[X1Xn])2=E[X12Xn2](E[(X1]E[Xn])2=E[X12]E[Xn2](E[X1])2(E[Xn])2=i=1n(var(Xi)+(E[Xi])2)i=1n(E[Xi])2
n=2У нас есть результат, заявленный ОП. Как указывает @Macro, для нам не нужно предполагать, что и независимы: более слабое условие, что и некоррелированы, а и также некоррелированы, также достаточно. Но для , отсутствие корреляции недостаточно. Независимости хватает, но не нужно. Требуется факторизация ожиданий продуктов, показанных выше, в продукты ожиданий, гарантированные независимостью.n=2X1X2X1X2X12X22n3
Дилип Сарватэ
источник
большое спасибо! Я очень ценю это. Да, вопрос был для независимых случайных величин.
Дамла
Можно ли сделать то же самое для зависимых переменных? Я пытаюсь выяснить, что произойдет с дисперсией, если ? Можем ли мы вывести формулу дисперсии с точки зрения дисперсии и ожидаемого значения X?
X1=X2==Xn=X
Дамла
Я разместил вопрос на новой странице. Большое спасибо! stats.stackexchange.com/questions/53380/...
DAMLA
Дилип, есть ли обобщение на произвольное число переменных, которые не являются независимыми? (Это другой вопрос, чем тот, который задал Дамла в своем новом вопросе, касающемся дисперсии произвольных степеней одной переменной.)n
Алексис
@Alexis Насколько мне известно, нет никакого обобщения на независимые случайные величины, даже, как уже указывалось, для случая случайных величин. 3
Дилип Сарвейт