Как распределяется минимум набора случайных величин?

Если являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами, что можно сказать о распределении в целом?$X_1, ..., X_n$$\min(X_1, ..., X_n)$

Если cdf $X_i$ обозначается через $F(x)$ , то cdf минимума определяется как $1-[1-F(x)]^n$ .

Если CDF $X_i$ обозначается через $F(x)$ , то CDF минимума определяется как $1-[1-F(x)]^n$ .

Обоснование: учитывая $n$ случайных величин, вероятность $P(Y\leq y) = P(\min(X_1\dots X_n)\leq y)$ подразумевает, что по крайней мере один $X_i$ меньше, чем $y$ .

Вероятность того, что хотя бы один $X_i$ меньше $y$ , эквивалентна единице, минус вероятность того, что все $X_i$ больше $y$ , т.е. $P(Y\leq y) = 1 - P(X_1 \gt y,\dots, X_n \gt y)$ .

Если $X_i$ независимы одинаково распределенными, то вероятность того, что все $X_i$ больше $y$ равна $[1-F(y)]^n$ . Следовательно, исходная вероятность $P(Y \leq y) = 1-[1-F(y)]^n$ .

Пример : скажем, , тогда интуитивно вероятность должна быть равна 1 (так как минимальное значение всегда будет меньше 1, так как для всех ). В этом случае поэтому вероятность всегда равна 1.$X_i \sim \text{Uniform} (0,1)$$\min(X_1\dots X_n)\leq 1$$0\leq X_i\leq 1$$i$$F(1)=1$

Роб Хиндман дал простой точный ответ для фиксированного n. Если вас интересует асимптотическое поведение при больших n, это делается в области теории экстремальных значений . Существует небольшое семейство возможных предельных распределений; см., например, первые главы этой книги .

Я думаю, что ответ 1- (1-F (x)) ^ n является правильным в особых случаях. Особые случаи - это условие, что pmf of rv основан на формуле для области rv. Если она будет отличаться в разных частях области, то вышеупомянутая формула немного отклоняется от фактических результатов моделирования.