Я наткнулся на этот дистрибутив в компьютерной игре и хотел узнать больше о ее поведении. Это связано с решением относительно того, должно ли происходить определенное событие после определенного количества действий игрока. Подробности за этим не имеют значения. Это кажется применимым к другим ситуациям, и я нашел это интересным, потому что это легко вычислить и создает длинный хвост.
На каждом шаге игра генерирует равномерное случайное число . Если , то событие инициируется. После того, как событие произошло один раз, игра сбрасывает и снова проходит последовательность. Меня интересует только одно вхождение события для этой проблемы, потому что это представляет дистрибутив, который использует игра. (Кроме того, на любые вопросы, касающиеся множественных вхождений, можно ответить с помощью одной модели вхождения.)
Основная «аномалия» здесь заключается в том, что параметр вероятности в этом распределении увеличивается со временем, или, другими словами, порог увеличивается со временем. В примере это изменяется линейно, но я предполагаю, что могли бы применяться другие правила. После шагов или действий пользователя,
для некоторой константы . В определенной точке мы получаем p (n _ {\ max}) \ geq 1 . Событие просто гарантированно произойдет на этом этапе.
Я смог определить, что
F ( n ) = p ( n ) + F ( n - 1 ) [ 1 - p ( n ) ] f ( n ) F ( n ) n p ( n )
Вот сюжет от нашего друга Монте-Карло, для удовольствия, с . Медиана работает до 21 и в среднем до 22.
Это в целом эквивалентно разностному уравнению первого порядка из цифровой обработки сигналов, которое является моей историей, и поэтому я нашел это довольно новым. Я также заинтригован тем, что может варьироваться в зависимости от любой произвольной формулы.
Мои вопросы:
- Как называется этот дистрибутив, если он есть?
- Есть ли способ вывести выражение для без ссылки на ?F ( n )
- Есть ли другие примеры дискретных рекурсивных распределений, подобных этому?
Редактирует уточненный процесс о генерации случайных чисел.
Ответы:
В некотором смысле, что вы сделали, это охарактеризовали все неотрицательные целочисленные распределения.
Давайте на минуту отложим описание случайного процесса и сосредоточимся на рекурсиях в вопросе.
Если , то, конечно, . Если мы переписываем эту вторую рекурсию в терминах функции выживания (где имеет распределение ), мы получим что-то очень внушительное и простое в обращении. Ясно, что и поэтому Таким образом, пока наша последовательность принимает значения в и не слишком быстро сходится к нулю, мы получим действительную функцию выживания (т. Е. Монотонно уменьшаемую до нуля при ).F n = p n + ( 1 - p n ) F n - 1 S n = 1 - F n = P ( T > n ) T F S n = 1 - F n = ( 1 - p n ) S nfn=pn(1−Fn−1) Fn=pn+(1−pn)Fn−1 Sn=1−Fn=P(T>n) T F S n = n ∏ k = 0 ( 1 - p k )
Более конкретно,
Таким образом, рекурсия, написанная в вопросе, является полностью общей : любое неотрицательное целочисленное распределение имеет соответствующую последовательность принимающую значения .[ 0 , 1 ](pn) [0,1]
Однако обратное неверно; то есть существуют последовательности со значениями в которые не соответствуют ни одному допустимому распределению. (В частности, рассмотрим для всех и для )(pn) [0,1] 0<pn<1 n≤N pn=0 n>N
Но подождите, это еще не все!
Мы намекали на связь с анализом выживаемости, и стоит изучить это немного глубже. В классическом анализе выживаемости с абсолютно непрерывным распределением и соответствующей плотности , то функция риска определяется какF f
Тогда накопленная опасность равна и простой анализ производных показывает, что Отсюда можно сразу дать характеристику допустимой функции риска: любая измеримая функция такая, что для всех и как .Λ(t)=∫t0h(s)ds
Мы получаем рекурсию, аналогичную приведенной выше, для функции выживания, отметив, что дляt>t0
Заметим, в частности, что мы могли бы выбрать как кусочно-постоянную, причем каждый кусок имеет ширину 1 и такой, что интеграл сходится к бесконечности. Это дало бы функцию выживания которая соответствует любому желаемому дискретному неотрицательному целому числу, оцениваемому по одному на каждое положительное целое число.h(t) S(t)
Подключение обратно к дискретному корпусу
Чтобы соответствовать желаемому дискретному для каждого целого числа, мы должны выбрать функцию опасности, которая является кусочно-постоянной, такой, что on . Это обеспечивает второе доказательство необходимого условия для последовательности для определения допустимого распределения.S(n)
Обратите внимание, что для малых , который обеспечивает эвристическую связь между функцией риска непрерывного распределения и дискретным распределением с соответствующей функцией выживания на целые числа. - log ( 1 - p n ) ≈ p n = f n / S n - 1pn −log(1−pn)≈pn=fn/Sn−1
Постскриптум : В качестве заключительного замечания, пример в вопросе не удовлетворяет необходимым условиям без соответствующей модификации при и установке для всех .f n n = ⌈ k - 1 ⌉ f n = 0 n > ⌈ k - 1 ⌉pn=kn fn n=⌈k−1⌉ fn=0 n>⌈k−1⌉
источник
есть решение
Другие случаи:
источник