Плотность Y = log (X) для гамма-распределенного Х

Этот вопрос тесно связан с этим постом

Предположим, у меня есть случайная величина , и я определяю . Я хотел бы найти функцию плотности вероятности .Y = log ( X ) $X \sim \text{Gamma}(k, \theta)$$Y = \log(X)$$Y$

Первоначально я думал, что я просто определю кумулятивную функцию распределения X, сделаю изменение переменной и возьму "внутреннюю часть" интеграла в качестве моей плотности, вот так,

$$\begin{align} P(X \le c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} x^{k- 1} e^{-\frac{x}{\theta}} dx \\ P(Y \le \log c) & = \int_{\log(0)}^{\log(c)} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} \exp(y)^{k- 1} e^{-\frac{\exp(y)}{\theta}} \exp(y) dy \\ \end{align}$$

Здесь я использую и , а затем sub в определениях для и в терминах .d y = $y = \log x$хдх$dy = \frac{1}{x} dx$$x$$dx$$y$

Вывод, к сожалению, не интегрируется в 1. Я не уверен, где моя ошибка. Могут ли некоторые сказать мне, где моя ошибка?

Напишите плотности с показателями, чтобы получить четкую картину.

Если , то f X ( x ) = $X\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$

$$f_X(x) = \frac{1}{\theta^k \Gamma(k)} \;\; x^{k-1} e^{-x/\theta} \, I_{(0,\infty)}(x) \, .$$

Если с обратным , то и CDF получается из определения $Y=g(X)=\log X$$X=h(Y)=e^Y$P ( Y ≤ y ) = ∫ y - ∞ f Y ( y ) d

$$f_Y(y) = f_X(h(y)) |h'(y)| = \frac{1}{\theta^k\Gamma(k)} \;\; \exp\left( ky-e^y/\theta\right)\,I_{(-\infty,\infty)}(y) \, ,$$ $$P(Y\leq y) = \int_{-\infty}^y f_Y(y) dy \, .$$