Я думал об этой проблеме в душе, она была вдохновлена ​​инвестиционными стратегиями.

Допустим, там было волшебное денежное дерево. Каждый день вы можете предложить денежное дерево денежному дереву, и оно либо утроит его, либо уничтожит с вероятностью 50/50. Вы сразу замечаете, что в среднем вы будете зарабатывать деньги, делая это, и стремитесь воспользоваться денежным деревом. Однако, если бы вы предложили все свои деньги сразу, вы бы потеряли 50% всех своих денег. Неприемлемый! Вы довольно склонны к риску, поэтому вы решили придумать стратегию. Вы хотите минимизировать шансы потерять все, но вы также хотите заработать столько денег, сколько сможете! Вы получаете следующее: каждый день вы предлагаете 20% своего текущего капитала денежному дереву. Если предположить, что самое низкое, что вы можете предложить, составляет 1 цент, то вам потребуется 31 полоса потерь, чтобы потерять все ваши деньги, если вы начали с 10 долларов. Более того, чем больше денег вы зарабатываете, тем дольше должна быть полоса неудач, чтобы вы все потеряли, удивительно! Вы быстро начинаете зарабатывать кучу денег. Но тут в голову приходит идея: вы можете просто предлагать 30% каждый день и зарабатывать гораздо больше денег! Но подождите, почему бы не предложить 35%? 50%? Однажды с большими знаками доллара в ваших глазах вы подбегаете к денежному дереву со всеми своими миллионами и предлагаете 100% своих денег, которые денежное дерево быстро сжигает. На следующий день вы получаете работу в McDonalds. которое денежное дерево стремительно сжигает. На следующий день вы получаете работу в McDonalds. которое денежное дерево стремительно сжигает. На следующий день вы получаете работу в McDonalds.

Есть ли оптимальный процент вашей наличности, который вы можете предложить, не теряя всего этого?

(под) вопросы:

Если есть оптимальный процент, который вы должны предложить, это статический (то есть 20% каждый день) или процент должен расти по мере увеличения вашего капитала?

Предлагая 20% каждый день, шансы потерять все ваши деньги уменьшаются или увеличиваются со временем? Есть ли процент денег, из-за которого шансы потерять все ваши деньги со временем возрастают?

Это общеизвестная проблема. Это называется ставка Келли. Ответ, кстати, 1/3. Это эквивалентно максимизации полезности бревна.

Келли начала с того, что уделяла время бесконечности, а затем решала все назад. Поскольку вы всегда можете выразить результаты в терминах непрерывного сложения, вы также можете обратить процесс вспять и выразить его в журналах. Я собираюсь использовать объяснение утилиты журнала, но утилита журнала удобна. Если вы максимизируете богатство как то в итоге вы получите функцию, аналогичную утилите ведения журнала. Если b - это шансы на выплату, а p - это вероятность выигрыша, а X - это процент вложенного богатства, тогда будет работать следующая деривация.$n\to\infty$$b$$p$$X$

Для бинарной ставки $E(\log(X))=p\log(1+bX)+(1-p)\log(1-X)$ , за один период и единицу богатства.

$$\frac{d}{dX}{E[\log(x)]}=\frac{d}{dX}[p\log(1+bX)+(1-p)\log(1-X)]$$ $$=\frac{pb}{1+bX}-\frac{1-p}{1-X}$$

Установка производной на ноль, чтобы найти экстремумы,

$$\frac{pb}{1+bX}-\frac{1-p}{1-X}=0$$

Перекрестное умножение итоге

$$pb(1-X)-(1-p)(1+bX)=0$$ $$pb-pbX-1-bX+p+pbX=0$$ $$bX=pb-1+p$$ $$X=\frac{bp-(1-p)}{b}$$

В вашем случае

$$X=\frac{3\times\frac{1}{2}-(1-\frac{1}{2})}{3}=\frac{1}{3}.$$

Вы можете легко расширить это до нескольких или непрерывных результатов, решая ожидаемую полезность богатства по совместному распределению вероятностей, выбирая распределения и подвергаясь любым ограничениям. Интересно, что если вы выполняете это таким образом, включая ограничения, такие как способность выполнять платежи по ипотечным кредитам и т. Д., То вы учли свой совокупный набор рисков и, таким образом, у вас есть скорректированный риск или, по крайней мере, контролируемый риск решение.

Desiderata Фактическая цель оригинального исследования была связана с тем, сколько играть в азартные игры на основе шумного сигнала. В конкретном случае, сколько нужно играть на шумный электронный сигнал, когда он указывает на запуск ядерного оружия Советским Союзом. Соединенные Штаты и Россия уже несколько раз запускали его, очевидно, по ошибке. Сколько вы играете на сигнал?

Мне понравился ответ Дейва Харриса. хотя я бы подошел к проблеме с точки зрения «низкого риска», а не максимизации прибыли

Случайная прогулка, которую вы делаете, при условии, что ваша ставка на дробь равна $q$ а вероятность выигрыша $p=0.5$ задана как

$$Y_t|Y_{t-1}=(1-q+3qX_t)Y_{t-1}$$ , где $X_t\sim Bernoulli(p)$ . в среднем у вас есть $$E(Y_t|Y_{t-1}) = (1-q+3pq)Y_{t-1}$$ Вы можете применить это итеративно, чтобы получить $$Y_t|Y_0=Y_0\prod_{j=1}^t (1-q+3qX_t)$$ с ожидаемым значением $$E(Y_t|Y_{0}) = (1-q+3pq)^t Y_{0}$$ Вы также можете выразить сумму в момент времени$t$ как функцию от одной случайной величины$Z_t=\sum_{j=1}^t X_t\sim Binomial(t,p)$ , но отметив, что$Z_t$ не зависит от$Z_{t-1}$ $$Y_t|Y_0=Y_0 (1+2q)^{Z_t}(1-q)^{t-Z_t}$$

возможная стратегия

Вы можете использовать эту формулу для определения значения «низкого риска» для $q$ . Предположим, вы хотели убедиться, что после $k$ последовательных потерь у вас все еще будет половина вашего первоначального богатства. Затем вы устанавливаете $q=1-2^{-k^{-1}}$

Использование примера $k=5$ означает, что мы установили $q=0.129$ , или с $k=15$ мы установили $q=0.045$ .

Кроме того, из-за рекурсивного характера стратегии этот риск является тем, что вы принимаете каждый раз при каждой ставке. То есть в момент $s$ , продолжая играть, вы гарантируете, что в момент времени $k+s$ ваше богатство будет не менее $0.5Y_{s}$

обсуждение

Приведенная выше стратегия зависит не от выигрыша от выигрыша, а от установления границы проигрыша. Мы можем получить ожидаемый выигрыш путем подстановки в значение для $q$ мы рассчитали, и в момент времени $k$ который использовался с учетом риска.

однако, интересно взглянуть на медиану, а не на ожидаемую отдачу в момент времени $t$ , которую можно найти, предполагая, что $median(Z_t)\approx tp$ .

$$Y_k|Y_0=Y_0 (1+2q)^{tp}(1-q)^{t(1-p)}$$ когда $p=0.5$ мы имеем соотношение, равное 1$(1+q-2q^2)^{0.5t}$ . Это максимизируется, когда$q=0.25$ и больше$1$ когда$q<0.5$

также интересно рассчитать вероятность того, что вы будете впереди в момент времени $t$ . чтобы сделать это, нам нужно определить значение $z$ таким образом, чтобы

$$(1+2q)^{z}(1-q)^{t-z}>1$$ осуществляя некоторую перестановку, мы находим, что пропорция выигрышей должна удовлетворять $$\frac{z}{t}>\frac{\log(1-q)}{\log(1-q)-\log(1+2q)}$$ Это может быть включено в нормальное приближение (примечание: среднее значение$0.5$и стандартная ошибка$\frac{0.5}{\sqrt{t}}$ ) как $$Pr(\text{ahead at time t})\approx\Phi\left(\sqrt{t}\frac{\log(1+2q)+\log(1-q)}{\left[\log(1+2q)-\log(1-q)\right]}\right)$$

что ясно показывает, что игра имеет очень хорошие шансы. коэффициент умножения $\sqrt{t}$ минимизируется, когда$q=0$(максимальное значение$\frac{1}{3}$ ) и монотонно убывает как функция от$q$ . поэтому стратегия «низкого риска» заключается в том, чтобы ставить очень небольшую долю своего богатства и играть много раз.

предположим, что мы сравниваем это с $q=\frac{1}{3}$ и$q=\frac{1}{100}$ . коэффициент для каждого случая составляет$0.11$и$0.32$. Это означает, что после$38$игр у вас будет около 95% шансов быть впереди с небольшой ставкой по сравнению с 75% шансов с большей ставкой. Кроме того, у вас также есть шанс разориться с более крупной ставкой, при условии, что вам пришлось округлить свою ставку до ближайших 5 центов или доллара. Начиная с$20$это может быть$13.35, 8.90,5.95,3.95,2.65,1.75,1.15,0.75,0.50,0.35,0.25,0.15,0.1,0.05,0$ . Это последовательность из$14$ проигрышей из$38$ , и, учитывая, что игра будет ожидать$19$ проигрышей, если вам не повезет с первыми несколькими ставками, то даже выигрыш может не компенсировать плохую серию (например, если произойдет большинство ваших побед) как только большая часть богатства исчезнет). разориться с меньшей 1% -ой долей невозможно в$38$ играх. Обратная сторона в том, что меньшая ставка в среднем приведет к гораздо меньшей прибыли, например,увеличениев$350$ раз при большой ставке по сравнению сувеличениемв$1.2$ при малой ставке (т.е. вы ожидаете получить 24 доллара после 38 раундов с маленькой ставка и 7000 долларов с большой ставкой).

Я не думаю, что это сильно отличается от мартингейла. В вашем случае нет ставок на удвоение, но выигрыш выплачивается в 3 раза.

Я закодировал «живую копию» вашего дерева. Я бегу 10 симуляций. В каждой симуляции (трассе) вы начинаете с 200 монет и пробуете с деревом по 1 монете каждый раз 20 000 раз.

Единственными условиями, которые останавливают симуляцию, является банкротство или «выживание» 20 тысяч попыток.

Я думаю, что, несмотря ни на что, рано или поздно вас ждет банкротство.

---

Код является импровизированным javascript, но без зависимостей: https://repl.it/@cilofrapez/MagicTree-Roulette

Он показывает вам результаты сразу. Код прост в настройке: запускать сколько угодно симуляций, ставок, сколько угодно попыток ... Не стесняйтесь играть!

В нижней части кода результаты каждого моделирования (по умолчанию 10) сохраняются в CSV-файл с двумя столбцами: номер вращения и деньги. Я сделал это так, чтобы его можно было подавать в онлайн-плоттер для графиков.

Было бы легко автоматизировать все это локально, например, с помощью библиотеки Google Charts. Если вы хотите видеть только результаты на экране, вы можете закомментировать эту последнюю часть, как я упоминал в файле.

РЕДАКТИРОВАТЬ

Исходный код:

/**
 * License: MIT
 * Author: Carles Alcolea, 2019
 * Usage: I recommend using an online solution like repl.it to run this code.
 * Nonetheless, having node installed, it's as easy as running `node magicTree.js`.
 *
 * The code will run `simulations` number of scenarios, each scenario is equal in settings
 * which are self-descriptive: `betAmount`,`timesWinPayout`, `spinsPerSimulation`, `startingBankRoll`
 * and `winningOdds`.
 *
 * At the end of the code there's a part that will generate a *.csv file for each simulation run.
 * This is useful for ploting the resulting data using any such service or graphing library. If you
 * wish the code to generate the files for you, just set `saveResultsCSV` to true. All files will
 * have two columns: number of spin and current bankroll.
 */

const fs = require('fs'); // Only necessary if `saveResultsCSV` is true

/**
 * ==================================
 * You can play with the numbers of the following variables all you want:
 */
const betAmount          = 0.4,   // Percentage of bankroll that is offered to the tree
      winningOdds        = 0.5,
      startingBankRoll   = 200,
      timesWinPayout     = 2,
      simulations        = 5,
      spinsPerSimulation = 20000,
      saveResultsCSV     = false;
/**
 * ==================================
 */

const simWins = [];
let currentSim = 1;

//* Each simulation:
while (currentSim <= simulations) {
  let currentBankRoll = startingBankRoll,
      spin            = 0;
  const resultsArr  = [],
        progressArr = [];

  //* Each spin/bet:
  while (currentBankRoll > 0 && spin < spinsPerSimulation) {
    if (currentBankRoll === Infinity) break; // Can't hold more cash!
    let currentBet = Math.ceil(betAmount * currentBankRoll);
    if (currentBet > currentBankRoll) break;  // Can't afford more bets... bankrupt!

    const treeDecision = Math.random() < winningOdds;
    resultsArr.push(treeDecision);
    if (treeDecision) currentBankRoll += currentBet * timesWinPayout; else currentBankRoll -= currentBet;
    progressArr.push(currentBankRoll);
    spin++;
  }

  const wins = resultsArr.filter(el => el === true).length;
  const losses = resultsArr.filter(el => el === false).length;
  const didTheBankRollHold = (resultsArr.length === spinsPerSimulation) || currentBankRoll === Infinity;

  const progressPercent = didTheBankRollHold ? `(100%)` : `(Bankrupt at aprox ${((resultsArr.length / parseFloat(spinsPerSimulation)) * 100).toPrecision(4)}% progress)`;

  // Current simulation summary
  console.log(`
  - Simulation ${currentSim}: ${progressPercent === '(100%)' ? '✔' : '✘︎'}
    Total:      ${spin} spins out of ${spinsPerSimulation} ${progressPercent}
    Wins:       ${wins} (aprox ${((wins / parseFloat(resultsArr.length)) * 100).toPrecision(4)}%)
    Losses:     ${losses} (aprox ${((losses / parseFloat(resultsArr.length)) * 100).toPrecision(4)}%)
    Bankroll:   ${currentBankRoll}
  `);

  if (didTheBankRollHold) simWins.push(1);

  /**
   * ==================================
   * Saving data?
   */
  if (saveResultsCSV) {
    let data = `spinNumber, bankRoll`;
    if (!fs.existsSync('CSVresults')) fs.mkdirSync('CSVresults');
    progressArr.forEach((el, i) => {
      data += `\n${i + 1}, ${el}`;
    });
    fs.writeFileSync(`./CSVresults/results${currentSim}.csv`, data);
  }
  /**
   * ==================================
   */

  currentSim++;
}

// Total summary
console.log(`We ran ${simulations} simulations, with the goal of ${spinsPerSimulation} spins in each one.
Our bankroll (${startingBankRoll}) has survived ${simWins.length} out of ${simulations} simulations, with ${(1 - winningOdds) * 100}% chance of winning.`);
```

Постановка задачи

Пусть $Y_t = \log_{10}(M_t)$ - логарифм суммы денег $M_t$ игрок имеет в момент времени $t$ .

Пусть $q$ будет доля денег, на которую игрок делает ставку.

Пусть $Y_0 = 1$ - сумма денег, с которой игрок начинает (десять долларов). Пусть $Y_L=-2$ будет сумма денег, на которой игрок обанкротится (ниже 1 цента). Для простоты мы добавляем правило, согласно которому игрок прекращает играть, когда он пропустил некоторую сумму денег $Y_W$ (позже мы можем отменить это правило, приняв предел $Y_W \to \infty$ ).

Случайная прогулка

Вы можете увидеть рост и падение денег как асимметричную случайную прогулку. То есть вы можете описать $Y_t$ как:

$$Y_t = Y_0 + \sum_{i=1}^t X_i$$

где

$$\mathbb{P}[X_i= a_w =\log(1+2q)] = \mathbb{P}[X_i= a_l =\log(1-q)] = \frac{1}{2}$$

Вероятность банкротства

мартингал

Выражение

$$Z_t = c^{Y_t}$$

это мартингейл, когда мы выбираем $c$ таким, что.

$$c^{a_w}+ c^{a_l} = 2$$ $c<1$$q<0.5$

$$E[Z_{t+1}] = E[Z_t] \frac{1}{2} c^{a_w} + E[Z_t] \frac{1}{2} c^{a_l} = E[Z_t]$$

Вероятность обанкротиться

$Y_t < Y_L$$Y_t>Y_W$$\frac{Y_W-Y_L}{a_w}$

$E[Z_\tau]$$\tau$$E[Z_0]$

таким образом

$$c^{Y_0} = E[Z_0] = E[Z_\tau] \approx \mathbb{P}[Y_\tau<L] c^{Y_L} + (1-\mathbb{P}[Y_\tau<L]) c^{Y_W}$$

и

$$\mathbb{P}[Y_\tau<Y_L] \approx \frac{c^{Y_0}-c^{Y_W}}{c^{Y_L}-c^{Y_W}}$$

$Y_W \to \infty$

$$\mathbb{P}[Y_\tau<Y_L] \approx c^{Y_0-Y_L}$$

Выводы

Есть ли оптимальный процент вашей наличности, который вы можете предложить, не теряя всего этого?

Какой бы оптимальный процент не зависел от того, как вы оцениваете различные прибыли. Тем не менее, мы можем сказать что-то о вероятности потерять все это.

Только когда игрок ставит нулевую долю своих денег, он, безусловно, не обанкротится.

$q$$q_{\text{gambler's ruin}}$

$$q_{\text{gambler's ruin}} = 1-1/b$$ $c$$a_w$$a_l$

$b=2$

шансы потерять все ваши деньги уменьшаются или увеличиваются с течением времени?

$q<q_{\text{gambler's ruin}}$

Вероятность банкротства при использовании критерия Келли.

$q = 0.5(1-1/b)$$b$$b$$c$$0.1$$0.1^{S-L}$

$b$

Симуляторы

$Y_t=-2$

$t$

To further illustrate the possible outcomes of gambling with the money tree, you can model the distribution of $Y_t$ as a one dimensional diffusion process in a homogeneous force field and with an absorbing boundary (where the gambler get's bankrupt). The solution for this situation has been given by Smoluchowski

Smoluchowski, Marian V. "Über Brownsche Molekularbewegung unter Einwirkung äußerer Kräfte und deren Zusammenhang mit der verallgemeinerten Diffusionsgleichung." Annalen der Physik 353.24 (1916): 1103-1112. (online available via: https://www.physik.uni-augsburg.de/theo1/hanggi/History/BM-History.html)

Equation 8:

$$W(x_0,x,t) = \frac{e^{-\frac{c(x-x_0)}{2D} - \frac{c^2 t}{4D}}}{2 \sqrt{\pi D t}} \left[ e^{-\frac{(x-x_0)^2}{4Dt}} - e^{-\frac{(x+x_0)^2}{4Dt}} \right]$$

This diffusion equation relates to the tree problem when we set the speed $c$ equal to the expected increase $E[Y_t]$, we set $D$ equal to the variance of the change in a single steps $\text{Var}(X_t)$, $x_0$ is the initial amount of money, and $t$ is the number of steps.

The image and code below demonstrate the equation:

• The histogram shows the result from a simulation.

• The dotted line shows a model when we use a naive normal distribution to approximate the distribution (this corresponds to the absence of the absorbing 'bankruptcy' barrier). This is wrong because some of the results above the bankruptcy level involve trajectories that have passed the bankruptcy level at an earlier time.

• The continuous line is the approximation using the formula by Smoluchowski.

Codes

#
## Simulations of random walks and bankruptcy:
#

# functions to compute c
cx = function(c,x) {
  c^log(1-x,10)+c^log(1+2*x,10) - 2
}
findc = function(x) {
  r <- uniroot(cx, c(0,1-0.1^10),x=x,tol=10^-130)
  r$root
}


# settings
set.seed(1)
n <- 100000
n2 <- 1000
q <- 0.45

# repeating different betting strategies
for (q in c(0.35,0.4,0.45)) {
  # plot empty canvas
  plot(1,-1000,
       xlim=c(0,n2),ylim=c(-2,50),
       type="l",
       xlab = "time step", ylab = expression(log[10](M[t])) )

  # steps in the logarithm of the money
  steps <- c(log(1+2*q,10),log(1-q,10))

  # counter for number of bankrupts
  bank <- 0

  # computing 1000 times
  for (i in 1:1000) {
    # sampling wins or looses
    X_t <- sample(steps, n, replace = TRUE)
    # compute log of money
    Y_t <- 1+cumsum(X_t)
    # compute money
    M_t <- 10^Y_t
    # optional stopping (bankruptcy)
    tau <- min(c(n,which(-2 > Y_t)))
    if (tau<n) {
      bank <- bank+1
    }
    # plot only 100 to prevent clutter
    if (i<=100) {
      col=rgb(tau<n,0,0,0.5)
      lines(1:tau,Y_t[1:tau],col=col)
    }
  }
  text(0,45,paste0(bank, " bankruptcies out of 1000 \n", "theoretic bankruptcy rate is ", round(findc(q)^3,4)),cex=1,pos=4)
  title(paste0("betting a fraction ", round(q,2)))
}

#
## Simulation of histogram of profits/results
#

# settings
set.seed(1)
rep <- 10000  # repetitions for histogram
n   <- 5000   # time steps
q   <- 0.45    # betting fraction
b   <- 2      # betting ratio loss/profit
x0  <- 3      # starting money

# steps in the logarithm of the money
steps <- c(log(1+b*q,10),log(1-q,10))

# to prevent Moiré pattern in
# set binsize to discrete differences in results
binsize <- 2*(steps[1]-steps[2]) 

for (n in c(200,500,1000)) {

  # computing several trials
  pays <- rep(0,rep)
  for (i in 1:rep) {
    # sampling wins or looses
    X_t <- sample(steps, n, replace = TRUE)
      # you could also make steps according to a normal distribution
      # this will give a smoother histogram
      # to do this uncomment the line below
    # X_t <- rnorm(n,mean(steps),sqrt(0.25*(steps[1]-steps[2])^2))

    # compute log of money
    Y_t <- x0+cumsum(X_t)
    # compute money
    M_t <- 10^Y_t
    # optional stopping (bankruptcy)
    tau <- min(c(n,which(Y_t < 0)))
    if (tau<n) {
      Y_t[n] <- 0
      M_t[n] <- 0
    }
    pays[i] <- Y_t[n]
  }

  # histogram
  h <- hist(pays[pays>0],
            breaks = seq(0,round(2+max(pays)),binsize), 
            col=rgb(0,0,0,0.5),
            ylim=c(0,1200),
            xlab = "log(result)", ylab = "counts",
            main = "")
  title(paste0("after ", n ," steps"),line = 0)  

  # regular diffusion in a force field (shifted normal distribution)
  x <- h$mids
  mu <- x0+n*mean(steps)
  sig <- sqrt(n*0.25*(steps[1]-steps[2])^2)
  lines(x,rep*binsize*(dnorm(x,mu,sig)), lty=2)

  # diffusion using the solution by Smoluchowski
  #   which accounts for absorption
  lines(x,rep*binsize*Smoluchowski(x,x0,0.25*(steps[1]-steps[2])^2,mean(steps),n))

}