«Поскольку

Короткий вопрос: почему это правда ??

Длинный вопрос:

Очень просто, я пытаюсь выяснить, что оправдывает это первое уравнение. Автор книги, которую я читаю (контекст здесь, если вы хотите, но не обязательно), утверждает следующее:

Из-за предположения о почти гауссовости мы можем написать:

$$p_0(\xi) = A \; \phi(\xi) \; exp( a_{n+1}\xi + (a_{n+2} + \frac{1}{2})\xi^2 + \sum_{i=1}^{n} a_i G_i(\xi))$$

Где - это PDF ваших наблюдаемых данных, который имеет максимальную энтропию, учитывая, что вы наблюдали только серию ожиданий, (простые числа) , где , а - это PDF стандартизированной гауссовой переменной, то есть 0 среднее и единичная дисперсия.c i , i = 1 . , , n c i = E { G i ( ξ ) } ϕ ( ξ $p_0(\xi)$$c_i, i = 1 ... n$$c_i = \mathbb{E}\{G_i(\xi)\}$$\phi(\xi)$

Все, что происходит, это то, что он использует приведенное выше уравнение в качестве отправной точки для упрощения PDF, , и я понимаю, как он это делает, но я не понимаю, как он оправдывает приведенное выше уравнение, т.е. отправная точка.$p_0(\xi)$

Я старался быть кратким, чтобы не запутывать кого-либо, но если вам нужны дополнительные детали, пожалуйста, дайте мне знать в комментариях. Спасибо!

(Примечание: я изменил ваш на .)$\xi$$x$

Для случайной величины с плотностью p , если у вас есть ограничения ∫ G i ( x $X$$p$ Для я = 1 , ... , п , максимальная плотность энтропии р 0 ( х ) = ехр ( п Σ я = 1 я G я ( х )

$$\int G_i(x)\,p(x)\,dx=c_i \, ,$$ $i=1,\dots,n$ Где I «s определяются из гр я » с, ипостоянная нормировки. $$p_0(x)=A\exp\left(\sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ,$$ $a_i$$c_i$$A$

В этом контексте гауссовское приближение («почти гауссовость») означает две вещи:

1) Вы соглашаетесь ввести два новых ограничения: среднее значение равно 0, а дисперсия равна 1 (скажем);$X$$0$$1$

2) Соответствующее (см. Ниже) намного больше, чем остальные a i .$a_{n+2}$$a_i$

Эти дополнительные ограничения представлены как

$$G_{n+1}(x)=x \, , \qquad c_{n+1}=0 \, ,$$ $$G_{n+2}(x)=x^2 \, , \qquad c_{n+2}=1 \, ,$$ $$p_0(x)=A\exp\left(a_{n+2}x^2 + a_{n+1}x + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ,$$ $$p_0(x)=A\exp\left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{2} + a_{n+2}x^2 + a_{n+1}x + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ,$$ $$p_0(x)=A'\,\phi(x)\exp\left(a_{n+1}x + \left(a_{n+2}+\frac{1}{2}\right)x^2 + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ;$$

$\exp(t)\approx 1+t$

$$p_0(x) \approx A'\,\phi(x)\left(1+a_{n+1}x + \left(a_{n+2}+\frac{1}{2}\right)x^2 + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, .$$ $A'$$a_i$ $$\int p_0(x)\,dx=1 \, , \qquad \int x \,p_0(x)\,dx=0 \, , \qquad \int x^2 \,p_0(x)\,dx=1$$ $$\int G_i(x)\, p_0(x)\,dx=c_i \, , \quad i=1,\dots,n \, ,$$ $A'$$a_i$

$G_i$

$G_i$