Таким образом, у меня был тест вероятности, и я не мог действительно ответить на этот вопрос. Он просто спросил что-то вроде этого:
«Учитывая, что является случайной величиной, 0 , используйте правильное неравенство, чтобы доказать, что выше или равно, E (X ^ 2) ^ 3 или E (X ^ 3) ^ 2 . 0 E ( X 2 ) 3 E ( X 3 ) 2
Единственное, о чем я мог подумать, это неравенство Дженсена, но я не знаю, как его применить здесь.
Ответы:
Это действительно может быть доказано неравенством Дженсена.
Подсказка : обратите внимание, что для функция выпукла в (здесь вы используете предположение ). Тогда неравенство Дженсена дает а для это Другой способ обойти.x α [ 0 , - ∞ ) X ≥ 0 E [ Y ] α ≤ E [ Y α ] α < 1α > 1 Иксα [ 0 , - ∞ ) Икс≥ 0
Теперь преобразуйте переменные во что-то сопоставимое и найдите соответствующую .α
источник
Неравенство Ляпунова (см .: Казелла и Бергер, Статистический вывод 4.7.6):
Для : E [ | X | r ] 11 < r < s < ∞
Доказательство :
По неравенству Дженсена для выпуклых :ϕ ( E X ) ≤ E [ ϕ ( x ) ]ϕ ( x ) ϕ ( E X) ≤ E [ ϕ ( x ) ]
Рассмотрим , тогда где ( E [ Y ] ) t ≤ E [ Y t ] Y = | X | рϕ ( Y) = YT ( E [ Y] )T≤ E [ YT] Y= | Икс|р
Замените : (E[|X|r]) sт = ср ( E [ | X|р] )sр≤ E [ | Икс|r sр] ⟹E [ | Икс|р]1р≤ E [ | Икс|s]1s
В общем случае для это означает:Икс> 0
источник
Предположим, что X имеет равномерное распределение на [0,1], тогда E (X ) = и, следовательно, E (X ) = и E ( X ) = поэтому E (X ) = . Так что в этом случае E (X ) > E (X ) . Вы можете обобщить это или найти контрпример?2 13 2 3 127 3 14 3 2 116 3 2 2 3
источник