Что выше, или

9

Таким образом, у меня был тест вероятности, и я не мог действительно ответить на этот вопрос. Он просто спросил что-то вроде этого:

«Учитывая, что является случайной величиной, 0 , используйте правильное неравенство, чтобы доказать, что выше или равно, E (X ^ 2) ^ 3 или E (X ^ 3) ^ 2 .ИксИкс 0 E ( X 2 ) 3 E ( X 3 ) 2 0Е(Икс2)3Е(Икс3)2

Единственное, о чем я мог подумать, это неравенство Дженсена, но я не знаю, как его применить здесь.

Триколор
источник
1
Вместо этого попробуйте неравенство Холдера.
jbowman
1
Пожалуйста, добавьте тег самообучения.
Майкл Р. Черник
2
Тема в stats.stackexchange.com/questions/244202/… обобщает этот вопрос: просто возьмите шестой корень с обеих сторон, чтобы применить его.
whuber
2
Пожалуйста, смотрите обсуждение вопросов в стиле домашних заданий в справочном центре
Glen_b

Ответы:

15

Это действительно может быть доказано неравенством Дженсена.

Подсказка : обратите внимание, что для функция выпукла в (здесь вы используете предположение ). Тогда неравенство Дженсена дает а для это Другой способ обойти.x α [ 0 , - ) X 0 E [ Y ] αE [ Y α ] α < 1α>1Иксα[0,-)Икс0

Е[Y]αЕ[Yα]
α<1

Теперь преобразуйте переменные во что-то сопоставимое и найдите соответствующую .α

tmrlvi
источник
5

Неравенство Ляпунова (см .: Казелла и Бергер, Статистический вывод 4.7.6):

Для : E [ | X | r ] 11<р<s<

Е[|Икс|р]1рЕ[|Икс|s]1s

Доказательство :

По неравенству Дженсена для выпуклых :ϕ ( E X ) E [ ϕ ( x ) ]φ(Икс)φ(ЕИкс)Е[φ(Икс)]

Рассмотрим , тогда где ( E [ Y ] ) tE [ Y t ] Y = | X | рφ(Y)знак равноYT(Е[Y])TЕ[YT]Yзнак равно|Икс|р

Замените : (E[|X|r]) sTзнак равноsр(Е[|Икс|р])sрЕ[|Икс|рsр] Е[|Икс|р]1рЕ[|Икс|s]1s

В общем случае для это означает:Икс>0

Е[Икс](Е[Икс2])12(Е[Икс3])13(Е[Икс4])14...

rightskewed
источник
2

Предположим, что X имеет равномерное распределение на [0,1], тогда E (X ) = и, следовательно, E (X ) = и E ( X ) = поэтому E (X ) = . Так что в этом случае E (X ) > E (X ) . Вы можете обобщить это или найти контрпример?21323127314321163223

Майкл Р. Черник
источник
Очень расплывчатый ответ. ОП просят доказать правильное утверждение. Там нет контрпример вообще.
Zhanxiong