Каково ожидание случайной величины, деленное на среднее значение

9

Пусть Xi будет IID и X¯=i=1nXi .

E[XiX¯]= ?
Это кажется очевидным, но у меня возникли проблемы с его формальным выводом.
stollenm
источник

Ответы:

13

Пусть X1,,Xn - независимые и одинаково распределенные случайные величины и определим

X¯=X1+X2+Xnn.

Pr{X¯0}=1Xii=1,nXi/X¯

X1X¯X2X¯XnX¯.
E[Xi/X¯]
E[X1X¯]=E[X2X¯]==E[XnX¯],
i=1,,n
E[XiX¯]=1n(E[X1X¯]+E[X2X¯]++E[XnX¯])=1nE[X1X¯+X2X¯++XnX¯]=1nE[X1+X2++XnX¯]=1nE[nX¯X¯]=nnE[X¯X¯]=1.

Посмотрим, сможем ли мы проверить это простым Монте-Карло.

x <- matrix(rgamma(10^6, 1, 1), nrow = 10^5)
mean(x[, 3] / rowMeans(x))

[1] 1.00511

Хорошо, и результаты не сильно меняются при повторении.

Zen
источник
3
(+1) Вывод о том, что не существует, верен, но требует более тонкого аргумента, чем любой из тех, с кем вы еще не связаны, потому что и не являются независимыми. E[Xi/X¯]XiX¯
whuber
2
@whuber: Можешь немного расширить это, Билл? Я упомянул зависимость и в одном из комментариев к связанному вопросу. Кроме того, ответ Сианя рассматривает случай с помощью простого преобразования. Он также дал распределение в одном из своих комментариев. Спасибо за ваши мысли по этому поводу. XiX¯n=2Xi/X¯
Дзен
3
@whuber: я думаю, что мое объяснение работает, так как что равно , является стандартными Кошами. Никакой зависимости не вовлечено.
Xi/X¯=n/{1+X2/X1++Xn/X1}
n/{1+(n1)Z}Z
Сиань
3
@ Сиань: Вы использовали это здесь (рассмотрим случай ), поскольку и являются стандартными Коши, тогда также является стандартным Коши? Но это не так, потому что и не независимы, верно? n=3U=X2/X1V=X3/X1(U+V)/2UV
Дзен
2
@Zen: Тем не менее, и являются независимыми переменными Normal, следовательно является Коши, если с масштабом а не . (X2++Xn)X1(X2++Xn)/X1n1n1
Сиань