Если конечно, ?

Для непрерывной случайной величины $X$ , если $E(|X|)$ конечно, $\lim_{n\to\infty}n P(|X|>n)=0$ ?

Это проблема, которую я обнаружил в Интернете, но я не уверен, имеет ли она место или нет.

Я знаю, что $n P(|X|>n)<E(|X|)$ имеет место по неравенству Маркова, но я не могу показать, что оно равно 0, а $n$ - бесконечности.

probability expected-value probability-inequalities 456 123
источник

(1) Преемственность не нужна. (2) Выразите ожидание как интеграл от функции выживания

Pr (| X | > n)

$\Pr(|X|\gt n)$ . (3) Рассмотрим контраположительное: что бы ненулевой предел означал в ожидании?

whuber

@whuber хорошее упражнение! Я думаю, что у меня есть правильный ответ, но так как это выглядит self-study, я не думаю, что я должен написать это здесь. Могу ли я создать личный чат и показать вам свое решение, чтобы вы могли сказать мне, если оно правильное?

DeltaIV

@Delta Это тот случай, когда публикация вашего ответа может показаться мне подходящей: у ОП есть конкретный подвопрос, а не троллинг для ответов на домашние задания.

whuber

@whuber это напоминает мне о несуществовании равномерного распределения по натуральным числам - означает ли это, что, хотя здесь непрерывность не нужна, счетная аддитивность есть ?

Билл Кларк

Ответы:

Посмотрите на последовательность случайных величин определенную путем сохранения только больших значений:Ясно, что , поэтому Обратите внимание, что идля каждого . Таким образом, LHS (1) стремится к нулю с помощью доминирующей сходимости . $\{Y_n\}$ $|X|$

Y_{n} := | X | I (| X | > n) .

$Y_n:=|X|I(|X|>n).$

Y_{n} \geq n I (| X | > n)

$Y_n\ge nI(|X|>n)$

\begin{matrix} (1) & E (Y_{n}) \geq n P (| X | > n) . \end{matrix}

$E(Y_n)\ge nP(|X|>n).\tag1$

Y_{n} \to 0

$Y_n\to0$

| Y_{n} | \leq | X |

$|Y_n|\le |X|$

n

$n$

grand_chat
источник

Я думаю, что вы имеете в виду «RHS» в вашем последнем предложении, в противном случае, хорошая работа!

jbowman

@jbowman, он / она означает по теореме о доминируемой сходимости (заметьте, что одного недостаточно, чтобы прийти к такому выводу). Я добавил ссылку на DCT в Википедии

E Y_{n} \to 0

$\mathbb{E}{Y_n} \to 0$

Y_{n} \to 0

$Y_n \to 0$

P.Windridge,

@ P.Windridge - я не читал достаточно внимательно, и связал «Итак, LHS» с уравнением 1, а не с предыдущим предложением. Виноват.

jbowman

Обратите внимание, что является случайной величиной. в каком смысле?

Y_{n}

$Y_n$

Y_{n} \to 0

$Y_n\rightarrow 0$

YHH

@YHH Конвергенция точечно: Для каждого , в .

ω

$\omega$

Y_{n} (ω) \to 0

$Y_n(\omega)\to0$

n \to \infty

$n\to\infty$

grand_chat

Я могу дать ответ для непрерывной случайной величины (наверняка есть более общий ответ). Пусть: $Y=|X|$

E [Y] = \int_{0}^{\infty} y f_{Y} (y) d y = \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + \int_{n}^{\infty} y f_{Y} (y) d y \geq \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + n \int_{n}^{\infty} f_{Y} (y) d y = \dots + n (F_{Y} (\infty) - F_{Y} (n)) = \dots + n (1 - F_{Y} (n)) = \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + n P (Y > n)

$\mathbb{E}[Y]=\int_0^\infty yf_Y(y)\text{d}y=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+\int_n^\infty yf_Y(y)\text{d}y\ge\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+n\int_n^\infty f_Y(y)\text{d}y=\dots+n\left(F_Y(\infty)-F_Y(n)\right)=\dots+n(1-F_Y(n))=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+nP(Y\gt n)$

таким образом

0 \leq n P (Y > n) \leq (E [Y] - \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y)

$0\leq nP(Y\gt n)\le\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)$

Теперь, так как по предположению конечно, мы имеем $\mathbb{E}[Y]$

lim_{n \to \infty} (E [Y] - \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y) = E [Y] - lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y = E [Y] - E [Y] = 0

$\lim_{n\to \infty}\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)=\mathbb{E}[Y]-\lim_{n\to \infty}\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y=\mathbb{E}[Y]-\mathbb{E}[Y]=0$

затем

lim_{n \to \infty} n P (Y > n) = 0

$\lim_{n\to \infty}nP(Y\gt n)=0$

по теореме сэндвича.

DeltaIV
источник

@ P.Windridge, не могли бы вы проверить, правильно ли я использовал теорему о доминируемой сходимости? У меня есть величина , которая неотрицательна и не превышает величину, предел которой равен 0, поэтому в моем приложении теорема. Спасибо

n P (Y > n)

$nP(Y>n)$

lim_{n \to \infty} n P (Y > n) = 0

$\lim_{n\to\infty}nP(Y>n)=0$

DeltaIV

@ DeltaIV - во-первых, чтобы уточнить, " и подразумевает ", НЕ является теоремой с доминированием сходимости (обычно это называется теорема сэндвича).

a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}

$a_n \le b_n \le c_n$

a_{n}, c_{n} \to l

$a_n, c_n \to l$

b_{n} \to l

$b_n\to l$

П.Уиндридж

@ DeltaIV - нет, вам не нужен DCT, достаточно MCT (включая вероятность того, что , но тогда вы не можете сказать !)

E Y = \infty

$\mathbb{E} Y = \infty$

E Y - E Y = \infty - \infty = 0

$\mathbb{E} Y -\mathbb{E} Y = \infty - \infty = 0$

P.Windridge,

Нет проблем. Кстати, я знаю, что конечно по предположению, я просто объяснял, где вы используете это предположение (сам MCT не требует его, в отличие от DCT, который использовал @grand_chat, и я надеюсь, что вы смотрели :)).

E [Y]

$E[Y]$

П.Уиндридж

@ P.Windridge ах, хорошо! Я не заметил, что MCT не требует предположения. Я взглянул на DCT, поэтому я подумал, что мне это не нужно для доказательств :) Я плачу за то, что меня не учили об интеграции Лебега в университете ... по этой причине я привык сделать вероятностное исчисление в терминах PDF, а не с точки зрения мер.

DeltaIV

$E\left | X \right |< \infty \Leftrightarrow E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\rightarrow 0$ (равномерно интегрируется)

$E\left | X \right |=E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}+E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |\leq n}$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\leq E\left | X \right |< \infty$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\geq nE\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}=nP\left ( \left | X \right |>n\right )$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n} \rightarrow 0 \Rightarrow nP\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0 \Rightarrow P\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0$

то есть $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim} P\left ( \left | X \right |>n\right )=0$

Aldehu
источник