Я наткнулся на вопрос интервью:
Существует красный поезд, который идет каждые 10 минут. Каждые 15 минут идет синий поезд. Оба они начинаются со случайного времени, поэтому у вас нет расписания. Если вы прибываете на станцию в произвольное время и садитесь на любой поезд, который прибывает первым, каково ожидаемое время ожидания?
probability
random-variable
expected-value
Shengjie Zhang
источник
источник
Ответы:
Один из способов решения этой проблемы - начать с функции выживания. Чтобы ждать как минимум минут, нужно ждать как минимум минут как для красного, так и для синего поезда. Таким образом, общая функция выживания является просто продуктом отдельных функций выживания:тt t
которая для - это вероятность того, что вам придется ждать не менее минут следующего поезда. Это учитывает разъяснение ФП в комментарии, что правильные предположения, которые следует принять, это то, что каждый поезд находится в фиксированном расписании, не зависящем от другого, и от времени прибытия пассажира, и что фазы двух поездов равномерно распределены. ,т0≤t≤10 t
Тогда PDF получается как
И ожидаемое значение получается обычным способом:
который работает до минут.359
источник
∫у<худу=у2/2| х 0 =х2/2∫у>ххду=ху| 15 x =15x-x2(.)=(∫y<xydy+∫y>xxd
Вот код MATLAB для симуляции:
источник
Предполагая, что каждый поезд находится в фиксированном расписании, не зависящем от другого и от времени прибытия пассажира, вероятность того, что ни один поезд не прибудет в первые минут, равна для , что при интеграции дает минутx 10−x10×15−x15 0≤x≤10 359≈3.889
В качестве альтернативы, если предположить, что каждый поезд является частью процесса Пуассона, общая скорость составляет поездов в минуту, что делает ожидаемое ожидание время минут115+110=16 6
источник
Я, вероятно, ошибаюсь, но предполагая, что время начала каждого поезда следует за равномерным распределением, я бы сказал, что при прибытии на станцию в случайное время ожидаемое время ожидания для:
Как отмечалось в комментариях, я понимал, что оба они стартуют в случайное время, как «два поезда стартуют в одно и то же случайное время». Что является очень ограничивающим предположением.
источник
источник
Это пуассоновский процесс. Красный поезд прибывает в соответствии с распределением Пуассона с параметром скорости 6 / час.
Синий поезд также прибывает в соответствии с распределением Пуассона со скоростью 4 / час. Красные поезда и синие поезда являются независимыми. Общее количество прибывающих поездов - также Пуассон со скоростью 10 / час. Так как сумма времени между прибытием поезда является экспоненциальной и составляет в среднем 6 минут. Поскольку среднее экспонента является обратной величиной параметра скорости Пуассона. Поскольку экспоненциальное распределение не имеет памяти, ожидаемое время ожидания составляет 6 минут.
источник