Можно ли из

Ну, мы не можем, например, посмотреть https://en.wikipedia.org/wiki/Subindependence за интересным контрпримером. Но реальный вопрос заключается в следующем: есть ли какой-нибудь способ усилить условие, чтобы независимость следовала? Например, существует ли некоторый набор функций так что если для всех $g_1, \dotsc, g_n$ $\E g_i(X) g_j(Y) =\E g_i(X) \E g_j(Y)$ $i,j$ тогда независимость следует? И насколько большим должен быть такой набор функций, бесконечным?

И, кроме того, есть ли хорошая справка, которая рассматривает этот вопрос?

probability mathematical-statistics references random-variable independence Къетил б Халворсен
источник

тебе повезло с этим? Я хотел бы видеть, есть ли конечный набор функций, который работает для любой пары RV, и особенно оправдание - кое-что кроме факторизации CDF

JDD

Я посмотрю! Я сомневаюсь, что вообще существует конечное множество, но любой набор, который является основой линейного набора функций, должен делать (так, например, если

оба имеют значения в

то набор из

линейно независимых полиномов (или других) функций, которые должны делать

X, Y

$X, Y$

0, 1, 2, \dots, n

$0,1,2,\dotsc,n$

n + 1

$n+1$

kjetil b halvorsen

Ответы:

Пусть - вероятностное пространство. По определению две случайные величины независимы, если их алгебры и независимы, т. у нас есть $(\Omega, \mathscr F, P)$ $X, Y :\Omega \to \mathbb R$ $\sigma$ $S_X := \sigma(X)$ $S_Y := \sigma(Y)$ $\forall A \in S_X, B \in S_Y$ . $P(A \cap B) = P(A)P(B)$

Пусть и возьмем (спасибо @grand_chat за указание на то, что достаточно). Тогда имеем $g_a(x) = I(x \leq a)$ $G = \{g_a : a \in \mathbb Q\}$ $\mathbb Q$ и

E (g_{a} (X) g_{b} (Y)) = E (I (X \leq a) I (Y \leq b)) = E (I (X \leq a, Y \leq b)) = P (X \leq a \cap Y \leq b)

$E\left(g_a(X)g_b(Y)\right) = E(I(X \leq a)I(Y \leq b)) = E(I(X \leq a, Y \leq b)) = P(X \leq a \cap Y \leq b)$

E (g_{a} (X)) E (g_{b} (Y)) = P (X \leq a) P (Y \leq b) .

$E(g_a(X))E(g_b(Y)) = P(X \leq a)P(Y \leq b).$

Если предположить, что то мы можем обратиться к теореме чтобы показать, что $\forall a, b \in \mathbb Q$

P (X \leq a \cap Y \leq b) = P (X \leq a) P (Y \leq b)

$P(X \leq a \cap Y \leq b) = P(X \leq a)P(Y \leq b)$

π - λ

$\pi-\lambda$

т.е.

P (A \cap B) = P (A) P (B) \forall A \in S_{X}, B \in S_{Y}

$P(A \cap B) = P(A)P(B) \hspace{5mm} \forall A \in S_X, B \in S_Y$

X ⊥ Y

$X \perp Y$

Так что, если я не допустил ошибку, мы, по крайней мере, получили счетный набор таких функций, и это относится к любой паре случайных величин, определенных в общем вероятностном пространстве.

JLD
источник

X

$X$

Y

$Y$

@whuber Я пытался ответить на вопрос о том, существует ли вообще такой набор функций. Я согласен, что более интересным аспектом является поиск минимального такого набора (над которым я все еще работаю)

JDD

G

$G$

a

$a$

@ Grand_chat замечательный момент, я обновил

JDD