Случайные величины, для которых неравенства Маркова, Чебышева жесткие

9

Я заинтересован в построении случайных величин, для которых неравенства Маркова или Чебышева являются жесткими.

Тривиальным примером является следующая случайная величина.

P(X=1)=P(X=1)=0.5 . Его среднее значение равно нулю, дисперсия равна 1 и . Для этой случайной величины Чебышев является тесным (имеет место равенство).P(|X|1)=1

P(|X|1)Var(X)12=1

Существуют ли более интересные (неоднородные) случайные величины, для которых Марков и Чебышев тесно связаны? Некоторые примеры были бы великолепны.

SPV
источник

Ответы:

5

Класс распределений, для которого имеет место предельный случай чебышевской оценки, хорошо известен (и его нетрудно догадаться). Нормализовано для местоположения и масштаба это

Z={k,with probability 12k20,with probability 11k2k,with probability 12k2

Это (в масштабе) решение, данное на странице Википедии для неравенства Чебышева .

[Вы можете написать последовательность распределений (поместив больше вероятности в центр с одинаковым удалением равномерно из конечных точек), которые строго удовлетворяют неравенству и приближаются к этому ограничивающему случаю настолько близко, насколько это необходимо.]ϵ>0

Любое другое решение может быть получено путем определения местоположения и масштаба сдвигами этого: Пусть .X=μ+σZ

Для неравенства Маркова пустьтаким образом, у вас есть вероятность в 0 и в . (Здесь можно ввести параметр масштаба, но не параметр местоположения)1 - 1 / k 2 1 / k 2 kY=|Z|11/k21/k2k

Предельные случаи Чебышева и Маркова

Моментные неравенства - и многие другие подобные неравенства - имеют тенденцию иметь дискретные распределения в качестве предельных случаев.

Glen_b - Восстановить Монику
источник
2

Я считаю, что получить непрерывное распределение по всей вещественной оси, которая точно следует чебышевской границе, может быть невозможно.

Предположим, что среднее непрерывного распределения и стандартное отклонение равны 0 и 1, или сделайте это с помощью масштабирования. Тогда требуется . Для простоты рассмотрим ; отрицательные значения будут определены симметрично. Тогда CDF распределения будет . И поэтому pdf, производная от cdf, равна . Очевидно, что это должно быть определено только для из-за разрыва. На самом деле, это даже не может быть правдой везде, или интеграл от pdf не является конечным. Вместо этого, если следует избегать разрывов (например, pdf cat должен быть 0 для ), pdf должен быть кусочным, равным дляP(X∣>x)=1/x2x>011/x22/x3Икс>0|Икс| <α|Икс|3|Икс|≥α .

Однако это распределение не соответствует гипотезе - оно не имеет конечной дисперсии. Чтобы получить непрерывное распределение по вещественной оси с конечной дисперсией, ожидаемые значения и должны быть конечными. Изучая обратные полиномы, хвосты, которые идут как приводят к конечной , но неопределенному потому что это включает в себя интеграл с асимптотически логарифмическим поведением.ИксИкс2Икс-3Е[Икс]Е[Икс2]

Таким образом, граница Чебычева не может быть полностью удовлетворена. Однако вы можете потребовать для сколь угодно малого . Хвост pdf имеет вид и имеет определенную дисперсию порядка .п(|Икс|>Икс)знак равноИкс-(2+ε)εИкс-(3+ε)1/ε

Если вы хотите позволить распространению жить только на части реальной линии, но все еще быть непрерывным, тогда определите для работает для и или любое линейное масштабирование - но в основном это , что не очень много. И сомнительно, соответствует ли это ограничение первоначальной мотивации.пdе(Икс)знак равно2/|Икс|3ε<|Икс| <Λ

εзнак равно2(1-1е)
0,887<
Λзнак равноεзнак равно2(е-1)
0,887<|Икс|<1,39
jwimberley
источник
Я не думаю, что трудно доказать, что непрерывная переменная с бесконечной поддержкой не может достичь нижней границы
MichaelChirico
@MichaelChirico Я тоже так не думаю; Я просто не хотел проходить через это усилие.
jwimberley