Я считаю, что получить непрерывное распределение по всей вещественной оси, которая точно следует чебышевской границе, может быть невозможно.
Предположим, что среднее непрерывного распределения и стандартное отклонение равны 0 и 1, или сделайте это с помощью масштабирования. Тогда требуется . Для простоты рассмотрим ; отрицательные значения будут определены симметрично. Тогда CDF распределения будет . И поэтому pdf, производная от cdf, равна . Очевидно, что это должно быть определено только для из-за разрыва. На самом деле, это даже не может быть правдой везде, или интеграл от pdf не является конечным. Вместо этого, если следует избегать разрывов (например, pdf cat должен быть 0 для ), pdf должен быть кусочным, равным дляп( ∣ X∣ > х ) = 1 / х2х > 01 - 1 / х22 / х3х > 0∣ x ∣ < α∣ х ∣3∣ x ∣ ≥ α .
Однако это распределение не соответствует гипотезе - оно не имеет конечной дисперсии. Чтобы получить непрерывное распределение по вещественной оси с конечной дисперсией, ожидаемые значения и должны быть конечными. Изучая обратные полиномы, хвосты, которые идут как приводят к конечной , но неопределенному потому что это включает в себя интеграл с асимптотически логарифмическим поведением.ИксИкс2Икс- 3Е[ х ]Е[ х2]
Таким образом, граница Чебычева не может быть полностью удовлетворена. Однако вы можете потребовать для сколь угодно малого . Хвост pdf имеет вид и имеет определенную дисперсию порядка .п( ∣ X∣ > х ) = х- ( 2 + ϵ )εИкс- ( 3 + ϵ )1 / ϵ
Если вы хотите позволить распространению жить только на части реальной линии, но все еще быть непрерывным, тогда определите для работает для
и
или любое линейное масштабирование - но в основном это , что не очень много. И сомнительно, соответствует ли это ограничение первоначальной мотивации.р де( х ) = 2 / ∣ х ∣3ϵ < ∣ x ∣ < Λ
ϵ = 2 ( 1 - 1е√)----------√
0,887<Λ = ϵ = 2 ( е√- 1 )--------√
0,887 < | х | < 1,39